Área bajo la curva

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INTEGRAL DEFINIDA

Hay infinidad de funciones extraídas del mundo real (científico, económico...) para las cuales tiene especial relevancia el área bajo sugráfica. Vamos a ocuparnos del cálculo de esas áreas.

Área bajo la curva y=f(x), entre las rectas x=-1 y x=1
APROXIMACIÓN DEL ÁREA BAJO LA CURVA
Si conocemos laecuación de una curva y = f(x) que toma valores no negativos, ¿cómo calcularemos el área entre la curva, el eje X y dos abscisas, x = a y x = b?

Una idea útilconsiste en dividir [a,b] en tramos y aproximar el área mediante rectángulos con base en el eje X y altura el mínimo valor que toma la función en cada tramo.

Siel intervalo [a,b] se ha partido en n trozos, no necesariamente iguales:
a = x0 < x1 < x2< ...< xn = b
Y llamamos mi al menor valor que toma lafunción en el tramo [xi-1,xi], el área rayada es:
m1(x1-x0) + m2(x2-x1) + ... + mn(xn-xn-1) =

Este área es menor (o, a lo sumo, igual) que el área buscada. Noshemos aproximado por defecto al área buscada.

También podríamos habernos aproximado por exceso sin más que tomar como altura de cada rectángulo el mayor valor, Mi,que toma la función en el intervalo correspondiente.

¿Cómo aproximarnos más al valor del área que buscamos?

-Evidentemente, si tomamos unos rectángulos másfinos, es decir, si los puntos xi los tomamos cada uno más cerca del siguiente, tanto el área por defecto como el área por exceso se aproximan más que antes al áreadel recinto.

–Y si, en vez de tomar el valor máximo o el mínimo de cada intervalo, tomamos un valor intermedio, la aproximación podría ser mejor todavía.
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