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CONTINUIDAD DE
FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
SECCIONES
1. Dominios y curvas de nivel.
2. C´alculo de l´ımites.
3. Continuidad.
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1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL.
Muchos problemas geom´etricos y f´ısicos conducen a funciones de varias variables. Por ejemplo, el ´area de un rect´angulo viene dado por la funci´on
f (x, y) = xy, donde x es la base e y la altura, la distancia de unpunto
del espacio P = (x, y, z) al origen corresponde a la funci´on f (x, y, z) =
x2 + y 2 + z 2 , etc. De ah´ı que sea necesario extender los conceptos y la
teor´ıa de funciones reales de variable real a funciones vectoriales de varias
variables.
En general, una funci´on vectorial de m variables f : Rm → Rn definida
por f (x1 , . . . , xm ) = (y1 , . . . , yn ) se escribir´a como un vector (f1 , .. . , fn ) de
funciones fi : Rm → R definidas por fi (x1 , . . . , xm ) = yi (i = 1, . . . , n).
Destacaremos los casos particulares siguientes:
Si n = 1, tenemos una funci´on real de m variables (que llamaremos campo escalar).
Si m = 1, tenemos una funci´on vectorial de una variable (o campo vectorial).
Ejemplos inmediatos de ambos casos son las rectas f : R → R3 en el espacio
tridimensional,definidas por f (t) = (x0 , y0 , z0 ) + t(a, b, c), y los planos, que
son funciones f : R2 → R definidas por f (x, y) = ax + by + c.
Los conceptos b´asicos relativos a propiedades globales de estas funciones son
los siguientes:
Dominio de f :
→
→
D(f ) = {−
x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm : ∃f (−
x ) ∈ Rn }.
Rango o imagen de f :
→
→
→
→
R(f ) = {−
y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn : ∃−
x = (x1 , . . . , xm )∈ D(f ), f (−
x) =−
y }.
Decimos que una funci´on est´a acotada cuando su imagen es un conjunto acotado.
Gr´
afica de f :
G(f ) = {(x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) ∈ Rm+n : (y1 , . . . , yn ) = f (x1 , . . . , xm )}.
En el caso particular de funciones f : R2 → R, es importante destacar el
concepto de curvas de nivel, que son los conjuntos de la forma
Ck = {(x, y) ∈ D(f ) : f (x, y) = k},
paravalores k ∈ R, pues representan el conjunto de puntos del dominio cuya
imagen toma el valor constante k. Como en este caso la gr´afica de la funci´on
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es una superficie, las curvas de nivel corresponden a los conjuntos de puntos
que est´an a la misma altura de dicha superficie; permiten ver las variaciones
de altitud en un dominio dado y en algunos casos hacerse una idea de la
propiasuperficie.
Se definen an´alogamente las superficies de nivel en el caso de funciones f :
R3 → R como los conjuntos
Sk = {(x, y, z) ∈ D(f ) : f (x, y, z) = k}, k ∈ R.
PROBLEMA 2.1
Describir los conjuntos de nivel f (x1 , . . . , xn ) = k , para los valores
de k indicados, de las siguientes funciones:
(a) f (x, y) = x2 + y 2 , k = 0, 1, 2, 3.
(b) f (x, y) =
x2 + y 2 , k = 0, 1, 2, 3.
(c) f (x, y, z) =x2 + y 2 , k = 0, 1, 2.
(d) f (x, y) = x2 − y 2 , k = −2, −1, 0, 1, 2.
(e) f (x, y) = exy , k = e−2 , e−1 , 1, e, e2 .
√
(f) f (x, y) = cos(x + y), k = −1, 0, 1/2, 2/2, 1.
Soluci´
on
(a) La ecuaci´
on x2 +y 2 = k representa una circunferencia de centro el origen
√
y radio k. Las curvas de nivel indicadas son entonces las siguientes
(para k = 0, la curva de nivel se reduce al punto (0, 0)):
Conesta informaci´on podemos deducir que la gr´afica tiene la siguiente
forma (se trata de un paraboloide de revoluci´on):
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(b) Las ecuaciones x2 + y 2 = k tambi´en representan circunferencias de
centro el origen, pero de radio k, lo que hace que el crecimiento de
dicho radio con respecto a k sea lineal. Las curvas de nivel son:
mientras que la superficie es ahora la de un cono:
(c) Como lafunci´on es ahora de tres variables, las ecuaciones x2 + y 2 = k
son las superficies de nivel
√ de la funci´on y representan cilindros cuyo
eje es el eje Z y el radio k (para k = 0 degenera en una recta).
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(El cilindro exterior no est´a completo para mayor claridad en la ilustraci´on.)
Observar que la gr´afica de la funci´on es ahora una regi´on del espacio
R4 y, por tanto, no es posible su...
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