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Unidad 3: Métodos de Integración
Tema 3. Método de integración por partes

Introducción
En este Tema discutiremos y aplicaremos una estrategia para calcular integrales que funciona en algunos casos en que el integrando es un producto de funciones, la idea consiste en aplicar una fórmula en donde una integral de interés está en términos de una integral alternativa que puede ser más simple decalcular; como se verá, este procedimiento está bastante relacionado con la regla para derivar un producto de funciones.
Una partícula se desplaza trazando una trayectoria en el primer cuadrante de un plano cartesiano, su posición en el tiempo está dada por las coordenadas y . Consideremos al rectángulo de la figura asociado a la posición de la partícula, el área de este rectángulo es funcióndel tiempo, esto es, .





a) Determina una fórmula para el diferencial de área , es decir, el cambio que sufre el área del rectángulo en un lapso infinitesimal a partir de un tiempo arbitrario .







b) Si sumamos los diferenciales de área correspondientes a los tiempos entre y , lo que obtenemos es el área sombreada de la figura. Obtén una fórmula de integración expresando dicha área dedos maneras distintas (suma de diferenciales de área y resta de áreas de rectángulos)






1. El método de integración por partes
De acuerdo a la conclusión de la SP-10 tenemos que:


O bien

Y despejando la primera integral de lado izquierdo resulta que:


A esta última ecuación es a la que se le llama fórmula de integración por partes, en ella las funciones y pueden ser cualesquierfunciones con tal que las integrales puedan calcularse.

La fórmula se usa para integrar un producto de funciones, es decir, para calcular una integral del tipo , para tal efecto se identifica a uno de los factores del integrando, por ejemplo , con la función de la fórmula y al otro factor, , con ; en seguida se obtienen derivando a y antiderivando a y se aplica la fórmula de integración porpartes haciendo las sustituciones indicadas en el siguiente diagrama.






Al aplicar la fórmula se busca que la integral alternativa que resulta en el lado derecho de la ecuación sea más simple de calcular que la integral original en el lado izquierdo; de no ser el caso, se podría intentar de nuevo el procedimiento pero identificando ahora al factor con y al factor con

2. La relación con laregla para derivar un producto
En la discusión de la SP-10 puede apreciarse como interviene la regla para derivar el producto . Podría pensarse que la fórmula de integración por partes es en el ¨lenguaje de las integrales¨, la equivalente a la regla para derivar un producto en el ¨lenguaje de las derivadas¨, de la misma manera que la fórmula de integración es equivalente a la fórmula de derivación.


3. La fórmula con límites de integración y sin límites de integración
La fórmula de integración por partes se puede aplicar con límites o sin límites de integración, en este último caso, lo que puede obtenerse con la fórmula es la antiderivada general de un producto de funciones.

O bien

4. La fórmula clásica del método
En la práctica es común aplicar la fórmula de integración por partessin hacer referencia a la variable de integración o cualquier otra letra que se designe para representarla, esto es, en la fórmula que hemos presentado:,
simplemente ponemos en lugar de , en lugar de , y las expresiones y se reemplazan por y respectivamente, esto con el único fin de agilizar la aplicación del método, veamos el siguiente diagrama




La fórmula del método de integración porpartes escrita en forma clásica es:






5. La propiedad iterativa del método
Puede suceder que al aplicar el método de integración por partes la nueva integral que surge requiera de nuevo de este método para resolverse.

Ilustremos esto tratando de resolver la integral


1. Casos típicos en los que se usa la Integración por partes
Aunque el método de integración por partes se aplica en un...