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Integral de Línea
Jesús Enrique Escalante Martínez1
1 Facultad

de Ingeniería Mecánica Eléctrica
Universidad Veracruzana

Matemáticas Aplicadas a la Ingeniería
5 de Julio 2013

Enrique Escalante (FIME - UV)

Integral de Línea

Mat Apli Ing

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1

Trabajo

2

Integral de Línea

3

Integral de línea independiente de la trayectoria

4

Breve discusión sobre mecánica

5

Conservación de laenergía

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Integral de Línea

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Trabajo

Definición. Trabajo realizado por un campo de fuerza sobre una partícula que
se desplaza a lo largo de una curva de R2
Sea C una curva suave contenida en un disco abierto B de R2 para la cual
una ecuación vectorial de C es R(t) = f (t)ˆi + g(t)ˆj. Además, considere un
campo de fuerza definido por F (x, y) = M(x, y)ˆi + N (x, y)ˆj, donde M y N
son continuas en B. Si W es la medida del trabajo realizado por una fuerza
de medida vectorial F al desplazar una partícula a lo largo de C desde
(f (a), g(a)) hasta (f (b), g(b)), entonces
b

W =

[M (f (t), g(t))f (t) + N (f (t), g(t))g (t)]dt
a

o, equivalentemente, utilizando notación vectorial
b

W

M (f (t), g(t)), N (f (t), g(t)) · f (t), g (t) dt

=
a
b⇔W

F (R(t)) · R (t)dt

=
a

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Trabajo

Ejemplo
Ejemplo. Trabajo en R2
Suponga que una partícula se mueve a lo largo de la parábola y = x2
desde el punto A(−1, 1) hasta el punto B(2, 4). Calcule el trabajo total
efectuado si el movimiento es ocasionado por el campo de fuerza
F (x, y) = (x2 + y 2 )ˆi + 3x2 yˆj
Suponga que el arco semide en metros y la fuerza en Newtons.
Solución
363
W =
5

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Trabajo

Ejemplo
Ejemplo. Trabajo en R2
Suponga que una partícula se mueve a lo largo de la parábola y = x2
desde el punto A(−1, 1) hasta el punto B(2, 4). Calcule el trabajo total
efectuado si el movimiento es ocasionado por el campo de fuerza
F (x, y) = (x2 + y 2)ˆi + 3x2 yˆj
Suponga que el arco se mide en metros y la fuerza en Newtons.
Solución
363
W =
5

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Integral de Línea

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Integral de Línea

Definición. Integral de línea sobre una curva de R2
Sea C una curva suave contenida en un disco abierto B de R2 y que
tiene la ecuación vectorial
R(t) = f (t)ˆi + g(t)ˆj

a≤t≤b

Sea F un campo vectorial sobre Bdefinido por
F (x, y) = M (x, y)ˆi + N (x, y)ˆj
donde M y N son continuas en B. Si se emplea la notación de la
forma diferencial, la integral de línea de F sobre C está definida por
M (x, y)dx + N (x, y)dy =
C
b

[M (f (t), g(t)) f (t) + N (f (t), g(t)) g (t)] dt
a
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Integral de Línea

Definición. Integral de línea sobre una curvade R2
Equivalentemente, usando la notación vectorial, la integral de línea
de F sobre C está definida por
b

F · dR =
C

Enrique Escalante (FIME - UV)

F (R(t)) · R (t) dt
a

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Integral de Línea

Definición. Integral de línea sobre una curva suave a trozos de R2
Suponga que la curva C consiste de los arcos suaves C1 , C2 , . . . , Cn
contenidos en un discoabierto B de R2 y considere R(t) y F (x, y)
como en la definición (5). Entonces la integral de línea de
M (x, y)dx + N (x, y)dy sobre C está definida por
n

M (x, y)dx + N (x, y)dy =
C

M (x, y)dx + N (x, y)dy
i=1

Ci

o, equivalentemente, empleando la notación vectorial, la integral de
línea de F sobre C se define como
n

bi

F · dR =
C

Enrique Escalante (FIME - UV)

F (R(t)) · R (t) dt
i=1

aiIntegral de Línea

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Integral de Línea

Definición. Integral de línea sobre una curva en R3
Sea C una curva suave contenida en una bola abierta B de R3 que tiene
ecuación vectorial
R(t) = f (t)ˆi + g(t)ˆj + h(t)kˆ

a≤t≤b

Sea F un campo vectorial sobre B definido por
F (x, y, z) = M (x, y, z)ˆi + N (x, y, z)ˆj + R(x, y, z)kˆ
donde M, N y R son funciones continuas en B....