2008

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2008

MATEMÁTICAS II
TEMA 4: FUNCIONES

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Junio, Ejercicio 1, Opción A



Junio, Ejercicio 1, Opción B

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Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A

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Reserva 2, Ejercicio 1, Opción A

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Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B

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Reserva 3, Ejercicio 1, Opción A

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Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A

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Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B



Septiembre, Ejercicio 1,Opción A



Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

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1

Sea f la función definida, para x ≠ 0 , por f ( x ) = xe x . Determina las asíntotas de la gráfica de f.
MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N
Asíntota vertical: x = 0
1

 1  x
1
1
− 2 e
∞
e
x 

x
= = lim+
= lim+ e x = ∞ ⇒ Asíntota vertical para x → 0 +
lim+ xe = 0 ⋅ ∞ =lim+
x →0
x →0
x →0
1
1
∞ x→0
− 2
x
x
1
x

1

lim− xe x = 0 ⇒ No tiene asíntota vertical para x → 0 −

x →0

Asíntota horizontal: No tiene
1
x

lim xe = ∞ ⋅ 1 = ∞ ⇒ No tiene asíntota Horizontal para x → + ∞
x →∞

1
x

lim xe = − ∞ ⋅ 1 = − ∞ ⇒ No tiene asíntota Horizontal para x → − ∞

x →− ∞

Asíntota oblicua: y = x + 1
1
x

1

xe
= lim e x = e 0 = 1
m = lim
x →∞ x
x →∞
1

 1  x
1
1
1
− 2 e
 x
 x

e −1
x 

= lim
= lim e x = 1
n = lim  xe − x  = lim x  e − 1 = ∞ ⋅ 0 = lim
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
1
1




− 2
x
x
1
x

De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm, determina las dimensiones del que tiene
diagonal de menor longitud.
MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B

R E S O L U C I Ó N

d

y

x

a) Función que queremos que sea mínimo: d min =

x2 + y2

b)Relación entre las variables: 2 x + 2 y = 8 ⇒ y = 4 − x
c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.

x 2 + (4 − x) 2 =

d min =

2 x 2 − 8 x + 16

d) Derivamos e igualamos a cero:

d ' min =

4x − 8
2

2 2 x − 8 x + 16

Luego, es un cuadrado de lado x = 2 ; y = 2

=

2x − 4
2 x 2 − 8 x + 16

=0⇒ x=2

Sean f : » → » y g : » → » las funciones definidas por
f ( x ) = x 2+ ax + b y g( x ) = c e − ( x +1)
Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto ( − 1, 2) y tienen en ese punto la misma recta
tangente.
a) Calcula los valores de a, b y c.
b) Halla la ecuación de dicha recta tangente.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 1.OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N
a) Como se corta en el punto (−1, 2) ⇒ f (− 1) = g (−1) = 2

a + b + 1 = 2 a + b = 1
⇒
f (−1) = g (− 1) = 2 ⇒  0
c = 2
c e = 2
Como en ese punto tienen la misma recta tangente ⇒ f '(−1) = g '(− 1)

f '(− 1) = g '(− 1) ⇒ − 2 + a = − c e 0 ⇒ a = 0
Resolviendo el sistema formado por estas ecuaciones sale: a = 0 ; b = 1 ; c = 2
b) La ecuación de la recta tangente en x = −1 es: y − f ( −1) = f ' ( −1) ⋅ ( x + 1)
- f ( − 1) = 2
- f ' ( −1) = − 2
Luego, la recta tangente es: y − 2 = − 2 ⋅( x + 1) ⇒ y = − 2 x

Dada la función f : » → » definida por f ( x ) =

x+1
, determina la ecuación de la recta
ex

tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N
Calculamos el punto de inflexión.
f '( x) = −

x
x −1
; f ''( x) = x = 0 ⇒ x = 1
x
e
e

Nos están pidiendo la recta tangente en x = 1 . Su ecuaciónserá:
y − f (1) = f '(1) ⋅ ( x − 1) ⇒ y −

2
1
−x+3
= − ⋅ ( x − 1) ⇒ y =
e
e
e

 x 2 + ax + b si 0 ≤ x < 2
Sea la función f : [ 0, 4] → » definida por f ( x ) = 
.
 cx + 1 si 2 ≤ x ≤ 4
a) Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [ 0, 4] , derivable en el
intervalo abierto (0, 4) y que f (0) = f (4) .
b) ¿En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?.MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N

a) Aplicamos las tres condiciones del problema.
1. Como la función es continua en x = 2 , se cumple:
lim x 2 + ax + b = 4 + 2a + b 

 ⇒ 4 + 2 a + b = 2c + 1 ⇒ 2 a + b − 2c = − 3
lim+ cx + 1 = 2c + 1

x→ 2
x→ 2 −

2 x + a
2. Calculamos la función derivada: f '( x) = 
 c

si
si

0 2
Como la función es...

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