3 Derivada
Páginas: 6 (1393 palabras)
Publicado: 16 de mayo de 2015
CAPÍTULO 3
LA DERIVADA
3.1 DEFINICIÓN
En el primer capítulo se estudió el concepto de límite y en el segundo la idea de incrementos.
Uniendo estos dos conceptos se llega a la parte medular del contenido de Cálculo diferencial, que
es la derivada.
Para representar la derivada existen tres formas, la primera se llama notación de Leibnitz y es
dy
, que se lee “la derivada de y con respecto a x” ,aunque abreviadamente suele decirse únicadx
mente “la derivada de y”. La segunda es la notación de Lagrange que es y ' ; y finalmente la
tercera es la notación debida a Cauchy que es Dx y . La que se empleará en este curso es la primera.
Se define la derivada como el límite, cuando Δx tiende a cero, del cociente de los incrementos Δy
entre Δx , que en notación matemática se escribe como
dy
Δy
=lim
dx Δx →0 Δx
45
La derivada
Para explicar su significado, se empleará un ejemplo numérico. Sea y = x 2 . Obteniendo el
incremento Δy conforme lo visto en el capítulo anterior se tiene que
y = x2
y + Δy = ( x + Δx )
2
Δy = ( x + Δx ) − y
2
Δy = ( x + Δx ) − x 2
2
Δy = x 2 + 2 xΔx + Δx 2 − x 2
Δy = 2 xΔx + Δx 2
(3.1)
Esta fórmula es la que se empleará en las siguiente tablas paraobtener el valor del incremento Δy
de la variable y , en donde debe tomarse en cuenta que x representa el valor inicial.
A continuación se elaborarán varias tablas, como se hizo en el capítulo I al explicar el concepto
de límite, solamente que ahora contendrán tres filas para poder ver hacia dónde se acerca el cociente
Δy
cuando el incremento de x tiende a cero.
Δx
Dando un valor inicial arbitrarioa la variable x , por ejemplo x = 4 , cuando el incremento de
x es Δx = 0.1 , el incremento Δy se obtiene empleando la fórmula (3.1) :
Δy = 2(4)(0.1) + (0.1) 2 = 0.81
de la misma forma para cuando Δx = 0.01
46
La derivada
Δy = 2(4)(0.01) + (0.01) 2 = 0.0801
o para Δx = 0.001 , cuyos valores se concentran en la siguiente tabla:
Δx
0.1
0.01
0.001
0.000000000001
Δy
0.81
0.0801
0.0080010.000000000008000000000001
Δy
Δx
8.1
8.01
8.001
8.000000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
lim
Δx → 0
etc.
Δy
se aproxima a 8. Entonces
Δx
Δy
= 8 , para el valor inicial de x = 4 .
Δx
Repitiendo el proceso con un nuevo valor inicial, por ejemplo para x = 5 :
Δx
0.1
0.01
0.001
0.000000000001
Δy
1.01
0.1001
0.010001
0.000000000010000000000001Δy
Δx
10.1
10.01
10.001
10.000000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
lim
Δx → 0
Δy
= 10 , para el valor inicial de x = 5 .
Δx
47
etc..
Δy
se aproxima a 10. Entonces
Δx
La derivada
Repitiendo el proceso con otro valor inicial, por ejemplo para x = 7 :
Δx
0.1
0.01
0.001
0.00000000001
Δy
1.41
0.1401
0.014001
0.0000000001400000000001
Δy
Δx14.1
14.01
14.001
14.00000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
lim
Δx → 0
etc.
Δy
se aproxima a 14. Entonces
Δx
Δy
= 14 , para el valor inicial de x = 7 .
Δx
Se pueden sintetizar los resultados de las anteriores tablas de la manera siguiente:
Para x = 5:
Para x = 4:
lim
Δx → 0
Δy
=8
Δx
lim
Δx → 0
Δy
= 10
Δx
Para x = 7:
lim
Δx → 0
Δy
= 14
Δx
Encada caso existe una regularidad: el cociente de los incrementos Δy entre Δx siempre
tiende al doble del valor inicial de x , es decir, el límite siempre es el doble del valor de x , lo cual
puede escribirse en términos genéricos como
lim
Δx → 0
Δy
= 2x
Δx
y como este límite es la derivada de la función en cuestión (en este caso, y = x 2 ), entonces
48
La derivada
dy
= 2x
dx
En resumen: laderivada de la función y = x 2 es
dy
= 2x .
dx
3.2 DERIVADA POR INCREMENTOS
Dado que por definición,
dy
Δy
= lim
, otra forma de encontrar la derivada de una función
dx Δx → 0 Δx
es construyendo el cociente de los incrementos Δy entre Δx y calculando su límite cuando Δx
tiende a cero, en donde el incremento Δy se obtiene aplicando la técnica estudiada en el capítulo
anterior relativo a...
LA DERIVADA
3.1 DEFINICIÓN
En el primer capítulo se estudió el concepto de límite y en el segundo la idea de incrementos.
Uniendo estos dos conceptos se llega a la parte medular del contenido de Cálculo diferencial, que
es la derivada.
Para representar la derivada existen tres formas, la primera se llama notación de Leibnitz y es
dy
, que se lee “la derivada de y con respecto a x” ,aunque abreviadamente suele decirse únicadx
mente “la derivada de y”. La segunda es la notación de Lagrange que es y ' ; y finalmente la
tercera es la notación debida a Cauchy que es Dx y . La que se empleará en este curso es la primera.
Se define la derivada como el límite, cuando Δx tiende a cero, del cociente de los incrementos Δy
entre Δx , que en notación matemática se escribe como
dy
Δy
=lim
dx Δx →0 Δx
45
La derivada
Para explicar su significado, se empleará un ejemplo numérico. Sea y = x 2 . Obteniendo el
incremento Δy conforme lo visto en el capítulo anterior se tiene que
y = x2
y + Δy = ( x + Δx )
2
Δy = ( x + Δx ) − y
2
Δy = ( x + Δx ) − x 2
2
Δy = x 2 + 2 xΔx + Δx 2 − x 2
Δy = 2 xΔx + Δx 2
(3.1)
Esta fórmula es la que se empleará en las siguiente tablas paraobtener el valor del incremento Δy
de la variable y , en donde debe tomarse en cuenta que x representa el valor inicial.
A continuación se elaborarán varias tablas, como se hizo en el capítulo I al explicar el concepto
de límite, solamente que ahora contendrán tres filas para poder ver hacia dónde se acerca el cociente
Δy
cuando el incremento de x tiende a cero.
Δx
Dando un valor inicial arbitrarioa la variable x , por ejemplo x = 4 , cuando el incremento de
x es Δx = 0.1 , el incremento Δy se obtiene empleando la fórmula (3.1) :
Δy = 2(4)(0.1) + (0.1) 2 = 0.81
de la misma forma para cuando Δx = 0.01
46
La derivada
Δy = 2(4)(0.01) + (0.01) 2 = 0.0801
o para Δx = 0.001 , cuyos valores se concentran en la siguiente tabla:
Δx
0.1
0.01
0.001
0.000000000001
Δy
0.81
0.0801
0.0080010.000000000008000000000001
Δy
Δx
8.1
8.01
8.001
8.000000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
lim
Δx → 0
etc.
Δy
se aproxima a 8. Entonces
Δx
Δy
= 8 , para el valor inicial de x = 4 .
Δx
Repitiendo el proceso con un nuevo valor inicial, por ejemplo para x = 5 :
Δx
0.1
0.01
0.001
0.000000000001
Δy
1.01
0.1001
0.010001
0.000000000010000000000001Δy
Δx
10.1
10.01
10.001
10.000000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
lim
Δx → 0
Δy
= 10 , para el valor inicial de x = 5 .
Δx
47
etc..
Δy
se aproxima a 10. Entonces
Δx
La derivada
Repitiendo el proceso con otro valor inicial, por ejemplo para x = 7 :
Δx
0.1
0.01
0.001
0.00000000001
Δy
1.41
0.1401
0.014001
0.0000000001400000000001
Δy
Δx14.1
14.01
14.001
14.00000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
lim
Δx → 0
etc.
Δy
se aproxima a 14. Entonces
Δx
Δy
= 14 , para el valor inicial de x = 7 .
Δx
Se pueden sintetizar los resultados de las anteriores tablas de la manera siguiente:
Para x = 5:
Para x = 4:
lim
Δx → 0
Δy
=8
Δx
lim
Δx → 0
Δy
= 10
Δx
Para x = 7:
lim
Δx → 0
Δy
= 14
Δx
Encada caso existe una regularidad: el cociente de los incrementos Δy entre Δx siempre
tiende al doble del valor inicial de x , es decir, el límite siempre es el doble del valor de x , lo cual
puede escribirse en términos genéricos como
lim
Δx → 0
Δy
= 2x
Δx
y como este límite es la derivada de la función en cuestión (en este caso, y = x 2 ), entonces
48
La derivada
dy
= 2x
dx
En resumen: laderivada de la función y = x 2 es
dy
= 2x .
dx
3.2 DERIVADA POR INCREMENTOS
Dado que por definición,
dy
Δy
= lim
, otra forma de encontrar la derivada de una función
dx Δx → 0 Δx
es construyendo el cociente de los incrementos Δy entre Δx y calculando su límite cuando Δx
tiende a cero, en donde el incremento Δy se obtiene aplicando la técnica estudiada en el capítulo
anterior relativo a...
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