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Derivadas Parciales y Funcione Diferenciables




Definici´on 1.1. Consideremos una funcion f : D → R y sea p ∈ D, i = 1, · · · , n. Definimos la derivada parcial de f en el punto p respecto a la variable i-´esima como el l´ımite (si existe)
∂f (p) = lim f (p + tei ) − f (p)
∂xi
t→0 t
donde {e1 , . . . , en } es la base can´onica de Rn definida como

ei = (0, .. . , 0, 1
|{iz}

, 0, . . . , 0)
Por ejemplo, en R2 la base canonica es

e1 = (1,0)
e2 = (0,1)

y en R3 la base canonica es


e1 = (1, 0) e2 = (0, 0) e3 = (0,0,1)

Observacion 1.2. Cuando n = 2, en la definicion anterior escribimos

p = (x, y), f (x, y) : R2 → R

y utilizamos la notacion,
∂f (x, y) = lim f (x + t, y) − f (x, y)
∂x t→0t
∂f (x, y) = lim f (x, y + t) − f (x, y)
∂y t→0 t

De la misma forma, cuando n = 3 escribimos

p = (x, y, z)

y utilizamos la notación
∂f (x, y, z) = lim f (x + t, y, z) − f (x, y, z)
∂x t→0 t
∂f (x, y, z) = lim f (x, y + t, z) − f (x, y, z)
∂y t→0t
∂f (x, y, z) = lim f (x, y, z + t) − f (x, y, z)
∂z t→0 t
1

Ejemplo 1.3. En economía, las derivadas parciales de una funci´on de utilidad se denominan ‘utilidades marginales’, las derivadas parciales de una funcion de produccion se denominan ‘productividades marginales’.
Consideremos, por ejemplo la funcion deproduccion Cobb-Douglas

f (K, L) = 5K 1/3 L2/3

donde f es el nu´mero de unidades producidas, K es el capital y L es el trabajo. Es decir, la formula anterior significa que si utilizamos K unidades de capital y L unidades de trabajo, entonces se producen f (K, L) = 5K 1/3 L2/3 unidades de un art´ıculo. Las constantes A = 5, α = 1/3 y β = 2/3 son parametros de la tecnolog´ıa deproduccion.
Las ‘productividades marginales’ del capital y del trabajo son
∂f = 5

2/3 L2/3
∂K 3 K −
∂f 10
= K
∂L 3
1/3
L−1/3
La productividad marginal del trabajo,
∂f (K, L)
∂L
Se interpreta en econom´ıa como una aproximacion a la variaci´on en la produccion del art´ıculo cuando pasamos de utilizar K unidades de capital y L unidades de trabajo autilizar una unidad m´as L + 1 de trabajo y las mismas unidades K de capital que antes.

Vemos que la productividad del trabajo y del capital es positiva. Es decir si utilizamos mas trabajo y/o m´as capital, aumenta la produccion. Por otra parte, la productividad del trabajo es decreciente en el trabajo y creciente en el capital. Esto se interpreta de la siguiente manera.• Supongamos que la cantidad de capital utilizado K se mantiene constante. Si L0 > L entonces
f (K, L0 + 1) − f (K, L0 ) < f (K, L + 1) − f (K, L)

Es decir, el aumento en la produccion al utilizar una unidad m´as de trabajo es decreciente en el trabajo inicial utilizado. Si se mantiene el capital cons- tante, usar una unidad adicional de trabajo, cuando ya se est´a utilizando muchotrabajo, aumenta poco la produccion.
Podemos pensar que f (K, L) es la produccion de un producto agr´ıcola en una parcela de tierra donde L son las personas contratadas y el taman˜o K de la parcela se mantiene fijo. El impacto en la produccion al contratar a una persona adicional es mayor si se est´an utilizando pocas personas comparado con el caso en que ya se est´an utilizandomuchas.
• Supongamos que la cantidad de trabajo utilizado L se mantiene constante.
Si K 0 > K entonces
f (K 0 , L + 1) − f (K 0 , L) > f (K, L + 1) − f (K, L)

Es decir, el aumento en la produccion al utilizar una unidad m´as de trabajo es creciente en las unidades de capital que se est´an utilizando. El capital y el trabajo son complementarios.
Definici´on 1.4. Consideremos...