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4.- Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas

– Ejercicios Resueltos –
 Distribución Uniforme
 Distribución Normal (Uso de Tabla)
 Distribución Exponencial
 Aplicaciones

4. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO

1.- La cantidad de lluvia caída en un año; en cientos de cc.; en cierta ciudad, es una variable
aleatoria𝒙 con función de densidad:
𝟎
𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
𝟏, 𝟔𝒙
𝒔𝒊 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟎, 𝟓
𝒔𝒊 𝟎, 𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟏
𝒇(𝒙) = 𝟎, 𝟖
𝟎, 𝟖
𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏
{ 𝒙𝟑
Se realiza un estudio en el cual se considera el agua caída en los últimos años. Si se toma una
muestra aleatoria de cinco años, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos en tres de ellos
la cantidad de agua caída sea inferior a la esperada? Considere que la cantidad de lluvia
caída, en añosdiferentes, son independientes.
1) Solución: Para empezar definiremos las variables a utilizar:
𝑥 = “Cantidad de lluvia caída en un año; en cientos de cc”
𝑦 = “Número de años en la muestra, en la que cae una cantidad de lluvia sea inferior a la esperada”
Luego, nos enfocamos a determinar el valor de la cantidad de lluvia esperada, de la siguiente
manera:
∞

0,5

1

∞

𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 ∙(1,6𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 ∙ (0,8) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 ∙ (
−∞

0

0,5

1

0,8
) 𝑑𝑥
𝑥3

𝑥 3 0,5
𝑥2 1
0,8 ∞
0,53 0,8 0,8 ∙ 0,52
7
|
| = 1,6 ∙
= 1,6 |
+ 0,8
−
+
−
+ 0,8 =
3
2 0,5
𝑥 1
3
2
2
6
0
El siguiente paso es calcular la probabilidad de que la cantidad de lluvia sea inferior a la esperada:
∞
∞
7
7
0,8
0,8
| ] = 0,706
𝑃 (𝑥 ≤ ) = 1 − 𝑃 (𝑥 > ) = 1 − ∫ 3 𝑑𝑥 = 1 − [
6
6
𝑥
−2𝑥 2 7⁄
7⁄
6
6
Además notemos que la 𝑦 posee unadistribución binomial, lo que se expresa de la siguiente manera:
5
(
)𝑦 (
)5−𝑦 ; 𝑦 = 1,2, … ,5
𝑦 ~ 𝐵( 𝑛 = 5 ; 𝑝 = 0,706)
𝑓(𝑦) = { (𝑦) 0,706 0,294
0
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Finalmente, se calcula la probabilidad que el problema nos solicita:
𝑃 (𝑦 ≥ 3) = 𝑃 (𝑦 = 3) + 𝑃(𝑦 = 4) + 𝑃(𝑦 = 5)
5
5
5
𝑃 (𝑦 ≥ 3) = ( ) (0,706)3 ∙ (0,294)2 + ( ) (0,706)4 ∙ (0,294)1 + ( ) (0,706)5 ∙ (0,294)0
3
4
5
𝑃 (𝑦 ≥ 3) = 0,845Respuesta: Al tomar una muestra aleatoria de cinco años, la probabilidad de que por lo menos en
tres de ellos la cantidad de agua caída sea inferior a la esperada, es 0,845

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Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

4. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO

2.- Una fabricante de refrigeradores ofrece una garantía de tresaños para su producto, siendo
la vida útil (en años) modelada por la siguiente función de densidad de probabilidad:
𝒙 + 𝟏𝟎
𝒇(𝒙) = { 𝟒𝟎𝟎 𝒔𝒊 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟎
𝟎
𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐
Se toma al azar a uno de los refrigeradores fabricados, ¿Cuál es la probabilidad de que se
haya realizado uso de la garantía, con este producto?
2) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:
𝑥 = “Vida útil de los refrigeradores, enaños”
En seguida, para que se haga efectiva la garantía la vida útil debe ser como máximo tres, por lo que
se calcula probabilidad evaluando en estos parámetros, en la función de densidad de probabilidad
antes dada:
3

𝑃(𝑥 ≤ 3) = ∫ (
0

𝑥 + 10
) 𝑑𝑥 = 0,08625
400

Respuesta: La probabilidad de que se haya realizado uso de la garantía, con este producto, es
0,08625
3.- El fabricante de cierto tipode compresor ha encontrado que la vida útil de un compresor,
en años, se puede modelar con la siguiente función de densidad:
𝒇(𝒙) = {

𝟑+𝒙
𝟖
𝟎

𝒔𝒊 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐
𝒆𝒏

𝒐. 𝒄

3.1) Si un cliente compró un compresor y ha estado funcionando por lo menos 6 meses ¿Cuál
es la probabilidad que falle antes de 18 meses?
3.2) Cada compresor tiene un costo de 20 u.m. y se vende en 32 u.m. y el fabricante da ciertasgarantías. Si el compresor falla antes de 3 meses se devuelve el importe de lo pagado. Si
falla entre 3 meses y 6 meses, se compromete a asumir el costo de mano de obra de la
reparación que tiene un valor de 5 u.m. ¿Cuál es la utilidad esperada por compresor?
3) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:
𝑥 = “Vida útil de un compresor, en años”
3.1) Solución: Procedemos a calcular la...