5 Bernoulli Probabilidad Frecuencial

3. LA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

3.1 Probabilidades a priori y empíricas
En el capítulo anterior, observamos que para calcular las probabilidades de los eventos
dados, de forma a priori, a causa del conocimiento de las características de las acciones,
simplemente se enumeraron las respectivas posibilidades favorables y no favorables
asociadas con la ocurrencia o no-ocurrencia del evento encuestión. Esta forma de
calcular las probabilidades fue definida formalmente por Laplace en 1812, y es lo que
actualmente se conoce como probabilidad clásica, la cual define la probabilidad de un
evento como el número de casos favorables al evento entre el número de casos posibles,
pero considerando o suponiendo que cada uno de los casos posibles igualmente puede
ocurrir. La probabilidad clásica, amenudo, se le conoce como probabilidad a priori
(Fisher, 1930), debido a que si utilizamos ejemplos previsibles como monedas no
alteradas, dados no cargados y mazos de barajas normales, entonces podemos
establecer la respuesta de antemano, sin necesidad de lanzar una moneda, un dado o
tomar una carta. No tenemos que efectuar experimentos para poder llegar a conclusiones.

Sin embargo, la importanciareal de la teoría de la probabilidad con respecto a la mayoría
de los fenómenos consiste en determinar las relaciones matemáticas de las diferentes
probabilidades pero de manera empírica y no deductiva, sin un exhaustivo conocimiento a
priori de las relaciones y acciones mutuas entre causa y efecto, por medio de
enumeración estadística de la frecuencia del evento observado. El concepto deprobabilidad encuentra su justificación en la estrecha relación entre las probabilidades

M. en C. Landy Sosa

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Desarrollo conceptual de la Probabilidad

matemáticas y las frecuencias relativas como determinadas en una forma puramente
empírica. Esta relación es establecida mediante la famosa Ley de los Grandes
Números, la cual marca un cambio en la concepción de probabilidad y proporciona unaherramienta para calcular aquellas probabilidades en las que no pueden determinarse las
distintas causas o características de un fenómeno.

3.2 Desarrollo histórico de la ley de los grandes números
El primer matemático en investigar la relación entre las probabilidades a priori y empíricas
fue el renombrado Jacobo Bernoulli en su libro “Ars Conjectandi”, publicado en 1713, el
cual puede ser consideradocomo una de las contribuciones más importantes en la
materia (Fisher, 1930). Las investigaciones de Bernoulli culminan en el teorema que lleva
su nombre y el cual forma la piedra angular de la estadística matemática moderna.
Bernoulli se dio cuenta de la gran importancia práctica de estas investigaciones, lo cual es
demostrado en la cuarta parte de su libro titulada: “Artis Conjectandi Pars Quarta,tradens
usum et applicationem praecedendis doctrinae in civilibus et economics”. Aquí también
encontramos por primera vez los términos de probabilidades “a priori” y “a posteriori”. Sus
investigaciones estuvieron limitadas a tales casos donde las probabilidades “a priori”
permanecen constantes durante la serie o conjuntos totales de series de observaciones.
Poisson (1781-1840), un matemáticofrancés, trató después en una serie de memorias
(1837) el caso más general donde las probabilidades a priori varían con cada ensayo
individual. Él también introduce el nombre “Ley de los Grandes Números” (Loi des Grand
Nombres). Años más tarde el matemático ruso Chebyshev, los estadísticos escandinavos
Westergaard y Charlier y el italiano Pizetti, hicieron varias contribuciones importantes.
3.3 Teoremade Bernoulli
Como se mencionó anteriormente, en el famoso libro de Jacobo Bernoulli aparece un
teorema de importancia cardinal para la teoría de probabilidades, comúnmente
denominado Teorema de Bernoulli, también conocido con el nombre de Ley de los
Grandes Números. Este teorema fue el primer intento para deducir medidas estadísticas a
partir de probabilidades individuales y se asegura que él...