5 Problemas coplanares

La fuerza de 80- N  descomponla en sus componentes en los ejes u y v, calcula su magnitud.

Dos fuerzas tienen una magnitud de 10 lb y 6 lb están actuando sobre un anillo. Si la fuerza resultante tiene una magnitud de 14lb determina el ángulo  entre la fuerzas.

Determina la magnitud resultante de una fuerza y su dirección medida a partir de su eje x positivo.

Determina la magnitud ydirección del momento de la fuerza en A con respecto al punto P.

Expresa cada fuerza en forma de vector en el los ejes Cartesianos

Momento de inercia de una varilla  
| Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas. |
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendidoentre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

| Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos. |
 
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasapor su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es
 
 
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio Ry longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e

 

Momento de inercia de una placa rectangular
| Vamos a calcular el momento de inerciade una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es |

El momento de inercia de la placa rectangular es

 
Momento de inercia de un disco
| Vamos a calcular el momento de inercia de un disco demasa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchura dx. La masa de este rectángulo es |
El momento de inercia del disco es

Haciendo el cambio de variable
x=R·cosθ
y=R·senθ
Llegamos a la integral

 
Momento de inercia de una esfera
Vamos a calcular el momento de inercia deuna esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros

Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variablex con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2
 
 
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros esAplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.

El momento de inercia del cilindro es

 

Momento de inercia de un paralepípedo
Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

Dividimos el paralepípedo en...