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GEOMETRÍA ANALÍTICA

LA HIPÉRBOLA
CONTENIDO
1.

Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen
1.1

2.

Análisis de la ecuación

Asíntotas de la hipérbola
Ejemplo 1

3.

Ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen
Ejemplo 2

4.

Hipérbolas conjugadas equiláteras o rectangulares con centro en el origen
Ejemplo 3

5.
6.
7.
8.
9.
10.

Ecuación de la hipérbola horizontalcon centro fuera del origen
Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen
Forma general de la ecuación de la hipérbola horizontal y vertical con centro
fuera del origen
Ecuaciones de la hipérbola equilátera referida a sus propias asíntotas
Posición general de la hipérbola y su ecuación
Ejercicios

Una hipérbola es la curva que se obtiene
intersectando un cono y un plano; si elplano está
inclinado, corta ambas secciones del cono y no pasa
por el vértice del mismo. Ver la Figura 1.
Definición.

Esta curva está definida como el lugar
geométrico de todos los puntos
contenidos en un plano, que tienen la
propiedad común relativa de que la
diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos llamados focos es una
constante, que representaremos por
2a.

De la Figura 2, se puede verque los puntos M,
F1 y F2 son los vértices de un triángulo y como en
todo triángulo la diferencia entre dos de sus lados es
menor que el tercero, entonces:

MF1- MF 2 < F1F 2
Figura 1
7. LA HIPÉRBOLA
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

7-1

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Y dada la definición se puede
escribir que:

MF1- MF 2 = 2 a
Y que la distanciafocal es:
F1F2 = 2 c .

1.

Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen.
Para este tipo de curva las coordenadas de los focos son: F1(-c,0) y F2(c,0).
La condición de movimiento del punto M(x, y) según definición es:

M F 1 - M F 2 = Constante = 2 a ....................................................................................(1)
Pero de acuerdo a la expresión para la distanciaentre dos puntos tenemos:
2

M F 1 = (x + c ) + (y + 0 )

2

y M F 2 = (x - c ) 2 + (y + 0 ) 2

Sustituyendo en (1), tenemos:
2

( x +c ) +( y +0 )

2

-

2

( x -c ) +( y +0 )

2

=2 a

Despejando al primer radical:
2

( x+c ) + y

2

=2a+

2

( x-c ) + y

2

Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando:

(

2

( x+c ) + y

2

) = (2 a +
2

2

(x-c ) +y

2

2
2
2
x +2c x+c + y =4a +4a2

)

2

( x-c ) +y

2

2

+ x2 -2c x+c 2 + y

2

Reduciendo términos semejantes:

4c x-4a2=4a

2

(x-c ) +y

2

Dividiendo entre 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:

7. LA HIPÉRBOLA
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

7-2

GEOMETRÍA ANALÍTICA

(c x - a )
2

2

(

= a (x - c ) 2 + y 2

)

2

2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
c x -2a cx +a =a x -2a c x +a c +a y

2

2

2
2
2
2
2
4
2
2
c x -a x -a y =a c -a

Factorizando:
2

( c 2 - a 2 ) x 2 - a 2 y = a 2 ( c 2 - a 2 ) ...........................................................................(2)
Para transformar más esta ecuación, tomaremos en cuenta, refiriéndonos al triángulo F1MF2
de nuestra Figura 2, que cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos; esto nospermite
escribir que:

F1F 2 > MF1 - MF 2
Pero como F 1 F 2 = 2 c y tomando en consideración la ecuación (1), se tiene:
2c>2a
Dividiendo entre dos y elevando al cuadrado.

c >a
2
2
c >a

Por tanto:
2
2
c −a >0

Como la última desigualdad expresa que la diferencia c2 – a2 es constante y positiva,
podemos expresarla de la siguiente manera por otra constante b2:
2
2
2
c - a =b

Sustituyendo en laecuación (2) queda:
2

2
2
2
2
2
b x - a y = a b ..................................................................................................(3)

Que es la ecuación definitiva de la hipérbola, la que también, al dividir entre a2b2, puede
expresarse en la siguiente forma:

b

2

a

2

x

2

b

2

-

a

2

a

2

y

2

b

2

=

a

2

b

2

a

2

b

2

Simplificando:

x
a

2

2

y

2

b

2

= 1...