70295081 Metodo Del Elemento Finito

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Método del elemento finito
El método del elemento finito tiene su origen en el análisis estructural y fue usado para la solución de problemas electromagnéticos hasta el año de 1968[]. El método del elemento finito (MEF) es útil para resolver problemas cuya solución involucra ecuaciones diferenciales y fronteras con formas irregulares.
El análisis a través de MEF de un problema implicabásicamente 4 pasos:
1. Discretización de la región de solución en un número finito de subregiones o elementos.
2. Deducción de ecuaciones que rigen a un elemento representativo.
3. Reunión de todos los elementos en la región de solución.
4. Resolución del sistema de ecuaciones obtenido.
Discretización de los elementos
La región de solución se divide en cierto número de elementos (mientras mayor sea elnúmero de elementos mayor será la exactitud del método), como se ilustra en la figura xx, donde la región se ha dividido en cuatro elementos no empalmados entre sí (dos de ellos triangulares y dos cuadriláteros).

Figura xx. Subdivisión del elemento finito representativo de un dominio irregular
Se busca entonces una aproximación del potencial dentro del elemento e y después se interrelacionan lasdistribuciones del potencial de tal forma que sea continuo de uno y otro lado de la frontera de los elementos, entonces la solución aproximada de la región completa se encuentra descrita por la ecuación

Donde N es el número de elementos triangulares en los que se ha dividido la región de solución.
La forma más común en que se obtiene la aproximación de Ve para el caso de los elementostriangulares es a través de aproximación polinomial

En el caso de los elementos cuadriláteros es:

El potencial de Ve es en general diferente de cero dentro del elemento e y de cero fuera de e. Resulta difícil aproximar la frontera de la región de solución con elementos cuadriláteros, los cuales son útiles en problemas donde la región de solución es bastante regular, por tal motivo es común en elanálisis de elemento finito que se utilicen únicamente elementos triangulares. Debe observarse que en el supuesto caso de variación lineal de potencial dentro del elemento triangular (tal y como lo muestra la ecuación xx), equivale a suponer que el campo eléctrico es uniforme dentro del elemento es decir

Ecuaciones que rigen los elementos
Considerando únicamente el elemento triangular (elemento1) que se muestra en la figura x. El potencial Ve1, Ve2, Ve3 en los nodos 1, 2, 3 respectivamente se obtienen mediante la ecuación

A partir de la ecuación x2 se determinan los coeficientes a, b, c de la siguiente manera

La sustitución de esta expresión en la ecuación xx resulta en

O de otra manera

Donde



Y A es el área del elemento e; esto es



El valor de A es positivo si losnodos de numeran en dirección opuesta a la de las manecillas del reloj, comenzando por cualquiera de ellos, como lo indica la flecha de la figura 3x. Cabe señalar que de la ecuación 4x resulta el potencial en cualquier punto (x, y) dentro del elemento siempre y cuando se conozcan los potenciales de los vértices, a demás se debe observar que los términos αi son funciones de interpolación lineal. Seles llama funciones de forma del elemento y poseen las siguientes propiedades



Figura 3x. Elemento triangular representativo, la numeración local de los nodos 1, 2, 3 debe seguir la dirección contraria de las manecillas del reloj, como lo indica la flecha.
En la figura 4x se ilustran, por ejemplo, las funciones de forma α1 y α2.

Figura xs. Funciones de forma de un elemento triangular (α1 y α2).
La energía por unidad de longitud asociada con el elemento e está dada por la ecuación siguiente

Donde la región de solución es bidimensional sin carga ( ). De acuerdo con la ecuación 4x sin embargo



La sustitución de la ecuación xy en la ecuación z2 da como resultado

Si el término entre corchetes se define como

La ecuación puede expresarse en forma matricial como se muestra a...