9 NUMEROS RACIONALES

9º NUMEROS RACIONALES

    Considérese un todo, por ejemplo, una hoja de papel, una tarta, etc.; divídase en varias partes iguales.
En cuatro partes la hoja de papel, en siete partes la tarta.
Cada una de las partes en que está dividida la hoja de papel es una cuarta parte; las del pastel, una séptima parte.
Tómense algunas de estas partes, 3 de papel y 4 de tarta, por ejemplo.
De este modose tienen tres cuartas partes de una hoja de papel y cuatro séptimas partes de una tarta.
    Los números que representan estas cantidades (tres cuartos, cuatro séptimos) se llaman fracciones, quebrados o números racionales.
Se representan por medio de dos números separados por una raya horizontal.
El de debajo de la barra se llama denominador, porque da nombre (denomina) al número racional eindica en cuantas partes se ha dividido la unidad.
El otro, situado sobre la barra, se llama numerador, porque da la cantidad (numera) y expresa la cantidad de partes que se toman o se dejan.
    En los ejemplos anteriores:
• se divide la hoja en 4 partes, se toman 3, se deja 1; luego: se han tomado de hoja, se ha dejado de hoja.
• se divide la tarta en 7 partes, se toman 4, quedan 7 – 4 = 3;luego: se han tomado de tarta, se han dejado de tarta.
    El número racional también puede representar otra situación concreta, por ejemplo, repartir 3 naranjas entre 4 personas.
Ahora el todo no es la unidad (1), sino 3 unidades y a cada uno de los cuatro les corresponde de naranja. Obsérvese que si cada naranja se divide entre los cuatro y cada uno toma de cada naranja (una parte equitativa),a cada uno le corresponden en total de naranja.
    Se llama conjunto de números racionales al conjunto de los elementos de Z x Z (por tanto, pares de elementos de Z) de la forma , con m, n Î Z y n ¹ 0. El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q.
    Si n =1 se tiene = m, para cualquier m Î Z, luego ZÌ Q (Z está contenido en Q). Si m y n son del mismo signo, espositivo. Si son de distinto signo, es negativo.
    El valor absoluto de un número racional se representa y define como en los números enteros:

    Si se divide una hoja de papel en dos partes iguales y se toma 1, se ha tomado de hoja.
    Si se divide en cuatro partes iguales y se toman dos, se ha tomado de hoja.
Si se divide en seis, ocho,..... y se toman tres, cuatro, ....
En cada caso se hatomado la misma cantidad de papel (compruébese prácticamente con unas hojas de papel). Así las fracciones , , , ,...,.. representan la misma cantidad, es decir, son equivalentes.
    En general, dos fracciones , son iguales:
   
por ejemplo:
=    si mq = np
=     2x28 = 7x8
    Las fracciones iguales se dice que son racionales equivalentes.
Dividiendo numerador por denominador puede expresarseun número racional por medio de la llamada notación decimal.
Así = 0.33
    Decimos que dos números racionales en notación decimal son iguales, si todos sus digitos son iguales.
Así = 0.125;
= 0.125;
luego =
    Para representar números racionales muy pequeños es cómoda la notación exponencial:
  0.00000007 =   = 7 x 10-8 
    Dos racionales positivos > si sólo si mq > nq: > ya que 2 ´ 3 =  6> 5 = 1 x 5.
    Dados dos números racionales a y b, con a < b, siempre existe otro racional m, tal que a < m < b,
ejemplo m =
(aunque existen otros, con éste basta para probar la afirmación). En efecto:
a < < b
equivale a 2a < a+b < 2b, o sea a + a < a + b < b + b que es evidente teniendo en cuenta (según la hipótesis) que a < b.
En el campo de los números racionales son posibles, además dela adición y la multiplicación, las operaciones inversas de éstas, es decir, la sustracción y, con la única excepción del divisor nulo, la división. Por consiguiente, la estructura algebraica del campo racional es bastante uniforme.
   
Obsérvese que esta proporción no es cierta, ni en N ni en Z. Por ejemplo, no hay ningún entero ni natural entre 3 y 4.
    Un conjunto con la propiedad de que...