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Los números complejos
Tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible. Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tenerpresente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.
Representación binomial
Cada complejo se representa en forma binomial como:
z = a + ib
a es:
la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así:
a = Re (z)
b = Im (z)
Plano de los números complejosDesde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.
Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.
Definiremos cada complejo como un par ordenadode números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad).
Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los númerosreales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
Valor absoluto, conjugado y distancia
Valor absoluto
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por lasiguiente expresión:
Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.
Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto
para cualquier complejo z yw.
Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.
Conjugado
El conjugado deun complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:
Con este número se cumplen las propiedades:
Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.
Representación polar y geometría
Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b (“coordenadas rectangulares”)es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.
Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a,b). Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a,b), a la que llamaremos r, y, que como hemos visto antes, es igual al módulo de z, expresado | z | .
Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, unángulo, denominado φ.
La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo φ:
Veamos cómo obtenemos esa expresión:

1.3
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA ( i ):
{$i = sqrt(−1)$}
POTENCIAS DE i:
{$i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = −1, i^3 = -i, i^{−1} = -i, i^{−2} = −1, i^{−3}=i$}
RAIZ CUADRADA PRINCIPAL DE UN NUMERO...
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