Aceleración media e instantánea

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Aceleración media e instantánea

Definición de la aceleración de una partícula en un movimiento cualquiera. Obsérvese que la aceleración no es tangente a la trayectoria.
En cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria, queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo como en dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La dirección de la velocidadcambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta, por lo general, no es rectilínea. En la Figura se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantes t y t+Δt, cuando la partícula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. El cambio vectorial en la velocidad de la partícula durante ese intervalo de tiempo está indicado por Δv, en el triángulo vectorial al piede la Figura. Definimos la aceleración media de la partícula, en el intervalo de tiempo Δt, como el cociente

que es un vector paralelo a Δv y dependerá de la duración del intervalo de tiempo Δt considerado.
La aceleración instantánea la definiremos como el límite a que tiende el cociente incremental Δv/Δt cuando Δt→0; esto es, como la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo:

Puestoque la velocidad instantánea v a su vez es la derivada del vector de posición r respecto al tiempo, la aceleración es la derivada segunda de dicho vector de posición con respecto del tiempo:

Podemos obtener la velocidad a partir de la aceleración mediante integración:

Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial y normal

Componentes intrínsecas de la aceleración
Entanto que el vector velocidad v es tangente a la trayectoria, el vector aceleración a puede descomponerse en dos componentes (llamadas componentes intrínsecas) mutuamente perpendiculares: una componente tangencial at (en la dirección de la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial, y una componente normal an (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamadaaceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre está dirigida hacia el centro de curvatura).
Derivando la velocidad con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que el vector tangente cambia de dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria (esto es, no es constante) obtenemos

siendo el versor tangente a la trayectoria en el mismo sentido que la velocidad y la velocidadangular. Resulta conveniente escribir la expresión anterior en la forma

siendo
el versor normal a la trayectoria, esto es dirigido hacia el centro de curvatura de la misma,
el radio de curvatura de la trayectoria, esto es el radio de la circunferencia osculatriz a la trayectoria.
Las magnitudes de estas dos componentes de la aceleración son:

Cada una de estas dos componentes de la aceleración tieneun significado físico bien definido. Cuando una partícula se mueve, su celeridad puede cambiar y este cambio lo mide la aceleración tangencial. Pero si la trayectoria es curva también cambia la dirección de la velocidad y este cambio lo mide la aceleración normal.
* Si en el movimiento curvilíneo la celeridad es constante (v=cte), la aceleración tangencial será nula, pero habrá una ciertaaceleración normal, de modo que en un movimiento curvilíneo siempre habrá aceleración.
* Si el movimiento es circular, entonces el radio de curvatura es el radio R de la circunferencia y la aceleración normal se escribe como an = v2/R.
* Si la trayectoria es rectilínea, entonces el radio de curvatura es infinito (ρ→∞) de modo que an=0 (no hay cambio en la dirección de la velocidad) y laaceleración tangencial at será nula o no según que la celeridad sea o no constante.
Los versores que aparecen en las expresiones anteriores son los versores del triedro de Frênet que aparece en la geometría diferencial de curvas del siguiente modo:
es el versor tangente a la curva.
es el versor normal a la curva.
es el vector velocidad angular que es paralelo al versor binormal a la curva.
Movimiento...
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