Acordes de guitarra

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Fuerza magnética de un solenoide
El solenoide es una bobina conformada por varias espiras de alambre conductor, enrolladas una al lado de la otra, según una hélice de paso constante, en una o varias capas sobre una superficie cilíndrica. Para nuestro caso vamos a tomar un solenoide de una sola capa de espiras (a fin que todas posean el mismo radio), y las espiras muy próximas entre sí para quepodamos considerar a cada una de ellas contenida en planos normales al eje geométrico.

Fijamos el eje x de un sistema de coordenadas, y su origen 0 según la figura. Sea N el
número de espiras, y L la longitud del solenoide.

Calcularemos de una manera suficientemente exacta la intensidad del campo B en un punto
cualquiera P del eje geométrico. Podemos calcular el valor del campo magnéticoB en este punto considerando a cada espira aisladamente, y aplicando el principio de superposición. Para ello podemos tomar la distancia de cada espira al punto considerado, y calculando el valor del campo que cada espira individualmente aporta al punto P, al efectuar la sumatoria de los valores calculados sobre todas las espiras, podemos obtener el valor del campo resultante en P.
Ahora bien,como se darán cuenta, este procedimiento es sumamente laborioso, sobre todo considerando que existen solenoides que poseen varios miles de espiras.

Necesitamos aplicar entonces, un método matemático que nos permita simplificar este
trabajo. A estos fines, nosotros podemos asociar todo este conjunto de espiras arrollada una al lado de la otra, por las cuales circula en cada espira el mismo valorde corriente i , y al tener todas el mismo diámetro, podemos asociar a una distribución “laminar” de corriente eléctrica en la superficie del cilindro sobre el cual está arrollado el solenoide. Luego, si nosotros tomamos la corriente que circula

En cada espira y la multiplicamos por el número de espiras, tendríamos este valor de corriente laminar Ni. Con este concepto definimos una densidadlineal de corriente N·i/L. Haciendo esta aproximación podemos tomar una “fibra” de esta corriente laminar, como si fuera una espira elemental de espesor dx por la que circula una corriente (N·i/L)dx. Esto nos va a permitir integrar a lo largo del eje de la espira ya que con la aproximación matemática efectuada podemos dejar de considerar a las espiras en forma discretas, sino como un desarrollocontinuo a lo largo de x. O sea, ya no tomamos a las espiras individualmente, sino al conjunto de espiras distribuidas a lo largo de la longitud L, como N/L, y a una fracción elemental de este conjunto como (N/L)dx.

Vamos entonces a calcular el valor de campo magnético que produce este paquete elemental
de espiras en el punto P. La expresión general de la Primera Ley elemental de Laplace-

Ampèreera en su forma escalar:

Cuando calculábamos el campo en el eje de una espira tomábamos el valor de la proyección
del campo en una dirección paralela al eje de la espira:

Si a esta expresión la multiplicamos por (N/L)dx tenemos entonces el valor de campo B que
produce el elemento de corriente i.dc de una fracción elemental de espiras:

que es un diferencial de segundo orden en x (a lolargo del eje x), y en l (alrededor de la espira). Para resolver esto, debemos efectuar una doble integración, una por cada variable, x, y c :

Efectuamos una primera integral alrededor de la espira, o sea a lo largo de 2πR , dando
como resultado:

La intensidad total del campo B en el punto P será:

Dentro de la integral nos encontramos con tres variables diferentes pero noindependientes.
El problema se reduce ahora a unificar las variables que se encuentran dentro de la expresión integral, para poder resolverla. Para ello tendremos en cuenta las siguientes consideraciones:

diferenciando esta expresión, tenemos:

Cuando reemplazamos valores, nos queda ya, esta integral referida a una sola variable, el
ángulo ϕ . Resta ahora unificar los límites de la integral. Tenemos...
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