Act 6

Un grupo (G, o) corresponde a un conjunto G en el cual hay definida una ley de composición interna (aplicación de un operador en los elementos de un conjunto. El operador se encarga de tomar elelemento inicial o los elementos y los relaciona con otros elementos propios de un conjunto final que puede o no ser de igual naturaleza) que obedece a los siguientes axiomas:
• Asociatividad:
• Elementoneutro o elemento de identidad:



• Elemento simétrico:


Un grupo se encuentra conformado por un conjunto de objetos abstractos o símbolos, y también por la ley de composición interna que es la quese encarga de relacionarlos. La ley de composición interna nos aclara cómo debemos manipular los objetos del grupo. Se dice que un grupo es abeliano o conmutativo si se puede verificar la propiedadconmutativa. Es decir si su operación binaria cumple con esta propiedad:



Cuando el grupo es abeliano es habitual denotar la operación binaria con el signo +.
Se puede ver el concepto de grupo como uncaso particular de grupos con
operadores en ∅(con acción, la única posible de ∅ en G).
El elemento e lo denominaremos elemento de identidad izquierdo o simplemente identidad izquierda de x.

Mientrasque,
lo llamaremos inverso izquierdo de y.
De manera análoga se tiene el elemento de identidad derecho y el inverso derecho. Cuando es clara la notación de la operación binaria, con frecuencia seexcluye y sencillamente se designa un grupo (G, o) con G. Al pedir que se tenga un elemento de identidad por el lado izquierdo e inverso izquierdo, estará implicado que se tengan identidad e inversoderechos. En un grupo (G, o), si un elemento es inverso izquierdo se tendrá inverso derecho. Si e es identidad izquierda, por lo cual tiene identidad derecha.
Consideremos,

para un elemento x ∈ G. ytambién un elemento inverso izquierdo del elemento,

es decir,

Luego,

Así que,

es inverso derecho de x. Ahora, para cualquier elemento x, consideremos las siguientes igualdades,

Entonces e es...