Acustica

Ecuaciones Diferenciales aplicadas al campo de la acústica, en la demostración de la ecuación de onda.

Ecuación de onda

La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial parciallineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. En el proyecto a elaborar nos centraremos en las ondassonoras, ya que esta ecuación resulta bastante útil en el campo acústico.

Solución del problema de valor inicial
Para la solución de dicha ecuación de onda, tenemos que tener en cuenta dos ecuacionesmuy importantes para el comportamiento acústico de una perturbación en el espacio, dichas ecuaciones son la ecuación de continuidad y ecuación de Euler.
Ecuación de Continuidad:
La ecuación decontinuidad muestra, la ley de la conservación de la materia en forma matemática. Cuando se genera cierta perturbación en el espacio supongamos una onda plana, esta tiene un movimiento dependiendo eleje de donde fue creado el estímulo, por ello las moléculas que están en dicho instante también serán desplazadas en función del eje, de acuerdo con la gráfica la función seria ε(x,t).

En general loque quiere hacer el campo de la acústica es saber una ecuación que modele, la forma en la que se conserva dicha materia que ha sido movida de su punto de equilibrio.

Sabiendo que la masa seconserva:
m1=m2 1

y que la ecuación de densidad (P)está dada por :
P=m/v 2

Remplazando 2 en 1 :
Po*Vo=Pf*Vf 3

El volumen está dado por la ecuación :
V=A(Xf-Xi) 4
A=Sección transversal.El volumen inicial seria:

Vo=A((x+ Δx)-x)
Vo=A* Δx

Volviendo a 4:
V=A[((x+ Δx)+ ε(x+ Δx)-(x+ ε(x)]
V=A[x+ Δx+ ε(x+ Δx)-x- ε(x)]
Vf=A[ε(x+ Δx)- ε(x)+ Δx]

Remplazando 4 en 3:
Po*(A*Δx)=Pf[A*( ε(x+ Δx)- ε(x)+ Δx)] 5

Cuando los cambios de densidad son muy pequeños podemos deducir que :
Pf=Po+P
Po>>>P

Po* Δx=[Po* ε(x+ Δx)-Po* ε(x)+Po* Δx]+[P* ε(x+ Δx)-P *ε(x)+P* Δx]...