Administracion problema transporte

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P. Lineal

LA PROGRAMACI ON

L I NEA L

1. INTRODUCCIÓN: la programación lineal como método de optimación La complejidad de nuestra sociedad en cuanto a organización general y económica exige disponer de métodos para la planificación y organización de la industria, de los transportes y para la asignación de trabajos en forma óptima. La programación lineal (iniciada por Dantzig en 1947), quees una pequeña parte de todo un cuerpo matemático que se ha venido consolidando en el siglo XX con el nombre de optimización, abarca métodos de resolución de problemas en los que se buscan los valores máximos o mínimos de funciones del tipo: f= a 1x 1 + a 2x 2+....+ a nx n (llamada función objetivo ) cuyas variables x 1,x2 ,...,xn están sujetas a unas condiciones restrictivas que se expresan pormedio de desigualdades. 2 n Estudiaremos en esta unidad sólo el caso de dos variables y para su resolución métodos grá-

ficos, ya que no se pretende dar una solución general al problema, ni mucho menos agotar todas sus aplicaciones. Ejemplo de un problema tipo de programación lineal Una empresa fabrica dos clases de lápices. De la clase A a 20 ptas. la unidad y de la clase B a 15 ptas. unidad.En la producción diaria se sabe que: el número de la clase B no supera en 1000 unidades a los de A; entre las dos clases no superan a 3000 unidades y los de la clase B no bajan de 1000 unidades. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria. Vamos a traducir el enunciado al lenguaje algebraico: Sea x el número de unidades fabricadas por día de la clase A Sea y el número de unidadesfabricadas por día de la clase B el beneficio obtenido al vender x unidades de A e y envases de B será : 20x + 15y, entonces consideramos la función f(x,y)= 20x + 15y , que llamaremos función objetivo, y queremos hallar x, y para que sea máximo o mínimo; x e y están sujetas a las siguientes condiciones (restricciones) : y ≤ x + 1000 x + y ≤ 3000, Además debe ser: y ≥ 1000

CV

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P. Linealx≥0 Por tanto el problema consiste en hallar x, y de forma que el valor f= 20x + 15y ( función objetivo ) sea máximo con las condiciones: y ≤ x + 1000 x + y ≤ 3000 y ≥1000 x ≥0 El conjunto de puntos que cumplen estas condiciones se llama conjunto de puntos factibles ( o región factible). La solución factible que haga óptima la función objetivo se llama solución óptima. Planteado el problema veremos alo largo del tema como resolverlo. 2. Concepto de región factible. Puntos extremos. Repaso de inecuaciones lineales con dos incógnitas. *Una inecuación lineal es una desigualdad algebraica del tipo: ax + by + c ≤ 0 ( ≥; ) Sus soluciones serán los pares de números (x,y) que hagan cierta la desigualdad.
Ejemplo: 2x-5y 0 y c x-2y+4 es equivalente a x+y-4>0 , por tanto es lineal.

Representacióngráfica del conjunto solución. Proposición. Dada una inecuación equivalente a: ax + by + c > 0 ó ax + by + c < 0 el conjunto solución es uno de los semiplanos cuya frontera es la recta: ax + by + c=0 (la llamaremos recta auxiliar) La inecuación puede escribirse para b≠ 0
y>
CV

− ax c − (1) b b

y<

− ax c − (2) b b
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P. Lineal

y los puntos de la recta auxiliar verifican:

y=− ax c − b b

Los puntos del semiplano superior verifican (1) y los del inferior verifican (2) (la demostración es inmediata). (2) (1)

Ejemplo 2: Resolver gráficamente la inecuación: 2x-5y 2 x / 5 , la solución es el semiplano superior. Para señalar que no esta incluida la recta en el conjunto de las soluciones se ha dibujado ésta con trazo discontinuo. Si estuviera incluida se dibujaríacon trazo continuo.

Sistemas de inecuaciones lineales.
*Un sistema de inecuaciones lineales es un conjunto de dos o más inecuacioness.
Resolver un sistema de inecuaciones es encontrar las soluciones comunes a todas ellas.

También la solución es gráfica Se utilizará la representación gráfica para dar el conjunto solución de un sistema de inecuaciones, que será la intersección de los...
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