Admon

ALGEBRA LINEAL

Espacios vectoriales
María Guadalupe barajas Martínez
Maestro l.f Andrés Hernández pascual
Contador público 1ºc
12 diciembre 2012

Espacio vectorial
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operaciónexterna (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
Un espacio vectorial sobre un cuerpo  (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto  no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedadasociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir
  
4) tenga elemento opuesto, es decir
 
y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:
  
6)  sea elemento neutro del producto:
 
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
  
8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma deescalares:
  

* Definición de subespacio vectorial y sus propiedades

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificar subespacio es el siguiente.

Teorema: supongamos que W esun subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:
1.-0єW
2.-W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.
3.-W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.

Corolario: W es un subespacio de V si y solo si:
1.-0єW.
2.-au+bvєW para todoslos u, vєW y a, bєK.

Ejemplo: sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. probemos que la intersección UÇW es también subespacio de V. claramente, 0ÎU y 0ÎW, porque U y W son subespacios, de donde 0ÎUÇW. Supongamos ahora que u, vÎUÇW. Entonces u, vÎU y u, vÎE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuÎU y u+v, kuÎW para cualquier escalar k. así u+v, kuÎUÇW y por consiguiente UÇW es unsubespacio de V. El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.

Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

* COMBINACION LINEAL E Independencia lineal
Definición. Dependencia e independencia lineales. Sean v1, v2, ..., vn n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmentedependientes si existen n escalares c1, c2, ..., cn no todos cero, tales que
c1v1 + c2v2+...+cnvn = 0
Si los vectores no son linealmente dependientes, entonces se dice que son linealmente independientes.
Expresado de otro modo, v1, v2, ..., vn son linealmente independientes si la ecuación c1v1 + c2v2+...+cnvn = 0 sólo se satisface si c1= c2 = ... = cn = 0.
¿Cómo se determina si un conjuntode vectores es o no linealmente independiente? El caso de dos vectores es sencillo.
Teorema 1. Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes si y sólo si uno es un múltiplo del otro.
Teorema 2. Un conjunto de n vectores en ℜm es siempre linealmente dependiente si n > m.
Demostración. Sean v1, v2, ..., vn n vectores en ℜm y tratemos de evaluar constantes c1, c2, ..., cn,no todas nulas, tales que
c1v1 + c2v2+...+cnvn = 0       (1)
Sean . Entonces, la Ecuación (1) se convierte en
(2)
Corolario. Un conjunto linealmente independiente de vectores en ℜn contiene, a lo sumo, n vectores.
Nota. Podemos expresar el corolario como sigue: Si se tienen n vectores-n linealmente independientes, no es posible agregar más vectores sin hacer que el conjunto obtenido sea...