Agebra Declarativa

Algebra Declarativa
Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivoslógicos.
Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definiciónes:
Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:
* (B) si p es una proposición lógica, es una fbf.
* (R) si F es una fórmula bienformada (fbf) también lo es (¬F).
* (R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔.
En el cálculo proposicional existen algunas tautologíasespecialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:
* Involución:
¬ (¬ p) ↔ p (se lee “no, no p, equivale a p”)
* Idempotencia:
(p ^ ¬ p)↔ p
(p v ¬ p) ↔ p
* Conmutatividad:
a) de la disyunción: p v q ↔ q v p
b) de la conjunción: p ^ q ↔ q ^ p

* Asociatividad:
a) de la disyunción: (p v q) v r ↔ p v (q v r)
b) de laconjunción: (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)

* Distributividad:
De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ú q) Ù r ↔ (p Ù r) Ú (q Ù r)
De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ù q) Ú r ↔ (p Úr) Ú (q Ú r)
* Leyes de De Morgan:
~ ( p Ú q ) ↔ ~ p Ù ~ q
“La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones”
~ ( p Ù q ) ↔ ~ p Ú ~ q
“La negación de una conjunciónequivale a la disyunción de las negaciones”
* Negación de una Implicación:
Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:

Conesto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir:
* ~ (p Þ q) Û ~{ ~(p Ù ~ q)}, y podemos concluir entonces que:
* ~( p Þ q ) Û ( p Ù ~ q)
Es...