Ajuste de curvas y el método de mínimos cuadrados

AJUSTE DE CURVAS Y EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Consideremos los puntos dados por (X1, Y1) (X2, Y2), …(XN, YN). Para un valor dado de X habrá una diferencia entre el valor Y1 y elcorrespondiente valor deducido de la curva C, llamada desviación.

Para hallar una ecuación que relacione las variables, el primer paso es recoger datos que muestren valores correspondientes de las variablesbajo consideración. Así por ejemplo, supongamos que X e Y denotan, respectivamente, los meses y el número de casos que se han presentado de determinada enfermedad; entonces una muestra de N datosrevelaría los meses X1, X2, …, XN y los casos correspondientes Y1, Y2, …,YN.

Entre muchas de las ecuaciones que se utilizan frecuentemente en la práctica, hemos tomado la que más se ajusta a lasnecesidades del proyecto, que es la parábola dada por:

Y = a0 + a1X + a2x²

Donde las constantes a0, a1 y a2 se determinan al resolver simultáneamente las ecuaciones:

a0N + a1∑X + a2∑X² = ∑Ya0∑X + a1∑X² + a2∑X³ = ∑XY

a0∑X² + a1∑X³ + a2∑X²² = ∑X²Y

Se mostrará el comportamiento de cualquier enfermedad así que daremos datos para los diferentes meses del año, con el objetivo deejemplificar.


ENERO 4

FEBRERO 4

MARZO 5

ABRIL 6

MAYO 6

JUNIO 7

JULIO 6

AGOSTO 4

SEPTIEMBRE 5

OCTUBRE 4

NOVIEMBRE 3

DICIEMBRE 2

(1, 40)(2, 40)

(3, 50)

(4, 60)

(5, 60)

(6, 70)

(7, 60)

(8, 40)

(9, 50)

(10, 40)

(11, 30)

(12, 20)

Graficando los pares ordenados nos queda:

[pic]

Esta tabla es utilizadapara obtener los valores que se necesitan en las ecuaciones previstas resolver, formando una matriz y resolviendo por el método de GAUSS JORDAN como se muestra a continuación.

|X |Y|X² |X³ |X²² |
|12 |78 |650 |56 |(/12) |
|78 |650...