Ajuste De Curvas

Ajuste de curvas por mínimos cuadrados
Cuando se asume que existe un error sustancial en los datos de f(xi), la interpolación polinomial, ya sea de Newton o de Lagrange, es inapropiada debido a quecuando se utiliza para encontrar los valores intermedios la variabilidad de los datos hará que la curva representada a través del polinomio oscilará en forma amplia en el intervalo entre los puntos.En este caso se utiliza la regresión por mínimos cuadrados, técnica cuyo objetivo es derivar una curva que minimice la discrepancia entre los puntos y la curva. Algunas suposiciones estadísticasinherentes en los procedimientos por mínimos cuadrados lineales son:
1. Cada x tiene un valor fijo, no es aleatorio y es conocido sin error.
2. Los valores y son valores aleatorios independientes y todostienen la misma varianza.
3. Los valores de y para una x dada deben ser normalmente distribuidos.
4. La regresión de y contra x no es la misma que la de x contra y.
4.3.1 Ajuste para una recta
Laaproximación por mínimos cuadrados se presenta cuando se ajusta un conjunto de pares de observaciones: (x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn) a una línea recta. La expresión matemática para ésta última es…(4.13)

Error entre el modelo y las observaciones (residuo)
Pendiente
Intercepto
Para ajustar a la “mejor” línea a través de los datos seminimiza la suma de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal
…(4.14)
La ventaja de (4.13) es que se obtiene una línea única para el conjunto de datos.
Paraobtener los valores a0 y a1 de (4.13) calculamos

Igualando con cero y simplificando

Haciendo y despejando
…(4.15)
Y al resolver (4.15) en forma simultánea se tiene que
…(4.16)Donde y son las medias de y y x, respectivamente.
Ejemplo. Ajusta a una línea recta los valores de x y y de la siguiente tabla:
i xi yi=f(xi)
1 1 0.5
2 2 2.5
3 3 2.0
4 4 4.0
5 5 3.5
6 6...