Ajustes de curvas

Técnicas Computacionales, Curso 2007-2008. Pedro Salvador

5.- Ajuste de curvas
El ajuste de curvas es un proceso mediante el cual, dado un conjunto de N pares de puntos {xi, yi} (siendo x la variable independente e y la dependiente), se determina una función matemática f(x) de tal manera que la suma de los cuadrados de la diferencia entre la imagen real y la correspondiente obtenida mediantela función ajustada en cada punto sea mínima: ⎛ N ⎞ ε = min⎜ ∑ ( y i − f ( xi )) 2 ⎟ ⎝ i ⎠ Generalmente, se escoge una función genérica f(x) en función de uno o más parámetros y se ajusta el valor de estos parametros de la manera que se minimice el error cuadrático, ε. La forma más típica de esta función ajustada es la de un polinomio de grado M; obteniendose para M = 1 un ajuste lineal (oregresión lineal), f ( x) = a 0 + a1 x para M = 2 un ajuste parabólico,

f ( x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 etc..

Por otro lado podemos tener un conjunto de datos multidimensionales; es decir, un conjunto de N puntos en un espacio k+1-dimensional del tipo { xi(1), xi(2), ..., xi(k),... yi,}. La función que ajustaremos a estos puntos será una función de k variables y = f(x(1), x(2),..., x(k)) El ajustemultidimensional más sencillo es considerar una dependencia lineal de la función respecto a cada una de las variables de que depende; es decir, ajustando una funcion del tipo

f ( x (1) , x ( 2 ) ,..., x ( k ) ) = a0 + a1 x (1) + a2 x ( 2) + ... + ak x ( k ) de tal manera que se minimice el error cuadrático respecto al conjunto de parámetros {a0, a1,..,ak}. Es lo que se conoce como ajuste oregresión multilineal. En esta sección veremos que el ajuste lineal, el de un polinomio de grado M y el ajuste multilineal se pueden expresar dentro de un mismo formalismo de manera que las respectivas soluciones al problema se pueden determinar mediante algoritmos prácticamente análogos.
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5.1. Regresión lineal
Supongamos que tenemos unconjunto de N puntos en el plano {xi, yi}. El objetivo es determinar la ecuación de la recta tal que minimiza el error cuadrático ⎛ N ⎞ ⎛ N ⎞ ε = min⎜ ∑ ( yi − yicalc ) 2 ⎟ = min⎜ ∑ ( yi − a0 − a1 xi ) 2 ⎟ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ respecto a los parámetros a0 (ordenada al origen) y a1 (pendiente). Matemáticamente:
N N N ∂ε = ∑ 2( yi − a0 − a1 xi ) = 2∑ yi − 2 Na0 − 2a1 ∑ xi = 0 ∂a0 i i i
N N N N ∂ε = ∑ 2( yi− a0 − a1 xi ) xi = 2∑ xi yi − 2a0 ∑ xi − 2a1 ∑ xi2 = 0 ∂a1 i i i i

Simplificando las ecuaciones anteriores vemos que se debe cumplir que
Na0 + a1 ∑ xi = ∑ yi
i i N N

a0 ∑ xi + a1 ∑ xi2 = ∑ xi yi
i i i

N

N

N

o bien, dividiendo ambas ecuaciones por el numero total de puntos e introduciendo valores medios
a0 + a1 x = y a0 x + a1 x 2 = xy

En forma matricial, podemos escribir⎛ 1 x ⎞⎛ a0 ⎞ ⎛ y ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x x 2 ⎟⎜ a ⎟ = ⎜ xy ⎟ ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
por lo que determinar los parámetros de la recta se resume a resolver el sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas anterior.

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Algoritmo general matricial

Consideremos ahora el mismo problema desde otra perspectiva. Vamos a suponerque los N puntos pueden pasar exactamente por la recta que buscamos. En este caso, plantearíamos el siguiente sistema N de ecuaciones con 2 incógnitas
⎧a0 + a1 x1 = y1 ⎪a + a x = y ⎪ 0 1 2 2 ⎨ ⎪... ⎪a0 + a1 x N = y N ⎩

o bien, en forma matricial
⎛ y1 ⎞ ⎛ 1 x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 x2 ⎟⎛ a0 ⎞ ⎜ y2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟= ⎜ ... ... ⎟⎜ a1 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ 1 xN ⎠ ⎝ ⎝ N⎠

r r A⋅ x = y

⎛ 1 x1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 1 x2 ⎟A= ⎜ ... ... ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1 xN ⎠

r ⎛a ⎞ x =⎜ 0⎟ ⎜a ⎟ ⎝ 1⎠

⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ r ⎜ y2 ⎟ y =⎜ ⎟ ... ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ N⎠

Como ya hemos visto, una manera directa de resolver los sistemas de ecuaciones expresados en forma matricial es la de multiplicar por la izquierda a ambos lados de la igualdad por la inversa de la matriz de coeficientes. sin embargo, en este caso, al tener mas ecuaciones que incógnitas,...