AJUSTES

Pruebas de bondad de ajuste
Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos se ajustan a una determinada distribuci´n, esta distribuci´n puede estar completamente especificada (hip´tesis simple) o
o
o
o
perteneciente a una clase param´trica (hip´tesis compuesta).
e
o
• Test χ2 Est´n dise˜ados para variables aleatorias discretas con un n´mero finito de valores, sia
n
u
esto no ocurriese los valores de la variable se agrupan en un n´mero finito de clases.
u
1. Hip´tesis nula simple H0 : X ≡ F0
o
Dada una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X que toma valores en las clases
C1 , . . . , Ck ,sea Oi = no de individuos de la muestra en la clase Ci y sea pi = P (X ∈ Ci ).
Con esta formulaci´n lo que se contrasta es
o
H0 :

pi = PF0 (X∈ Ci ) = p0 ∀i
i

y se puede hacer por dos procedimientos: mediante el estad´
ıstico de la raz´n de verosimio
litudes o mediante el estad´
ıstico de Pearson.
Ambos procedimientos se basan en la comparaci´n de la frecuencia observada en cada clase
o
Oi con la frecuencia esperada bajo la hip´tesis nula Ei = np0 = no de individuos esperados
o
i
en la clase Ci , bajo H0 ; si esta fuesecierta no deber´ presentarse grandes discrepancias.
ıan
El test de la raz´n de verosimilitudes se basa en la verosimilitud de los datos agrupados
o
→
a
o
es L(O1 , . . . , Ok , − ) = h k pOi que alcanza su m´ximo cuando pi = Oi /n y si la hip´tesis
p
i=1 i
− ) = h k (p0 )Oi de
→
nula fuese cierta la verosimilitud de los datos ser´ L(O1 , . . . , Ok , po
ıa
i=1 i
Oi
p0
k
i
,ydonde el estad´
ıstico de la raz´n de verosimilitudes es Λ(O1 , . . . , Ok ) = i=1
o
Oi /n
se obtiene el siguiente estad´
ıstico
k

G = −2 ln Λ = 2

Oi ln
i=1

Oi
Ei

que como se observa se basa en la comparaci´n por cociente de las frecuencias observadas
o
y esperadas de cada clase.
En base a este estad´
ıstico se define la regi´n cr´
o
ıtica RC = {G > c} y para determinar
c seutiliza la distribuci´n asint´tica de G = −2 ln Λ que es χ2 , los grados de libertad
o
o
k−1
corresponden al n´mero de pi que es necesario estimar.
u
La aplicaci´n de este procedimiento requiere muestras de tama˜o grande para poder utilizar
o
n
la aproximaci´n asint´tica, es reconocido el criterio de que Ei ≥ 5 en al menos un 80% de
o
o
las clases admiti´ndose que en lo sumo un 20% delas clase se tenga 1.5 ≤ Ei ≤ 5.
e
El test de Pearson se basa en la comparaci´n por diferencia e las frecuencias observadas
o
y esperadas de cada clase a partir del estad´
ıstico
k

D=
i=1

(Oi − Ei )2
Ei

En base a este estad´
ıstico se define la regi´n cr´
o
ıtica RC = {D > c} y para determinar c se
utiliza la distribuci´n asint´tica de D que es χ2 , al igual que en el casoanterior.
o
o
k−1

Puede comprobarse que los dos estad´
ısticos utilizados son asint´ticamente equivalentes y
o
ambos utilizan el mismo criterio para la aproximaci´n asint´tica.
o
o
2. Hip´tesis nula compuesta H0 : X ≡ Fθ , θ ∈ Θ ∈ Rq
o
En este caso para aplicar cualquiera de los dos procedimientos anteriores necesito la estimaci´n m´ximo veros´
o
a
ımil del par´metro con los datosagrupados θ para luego calcular
a
Ei = nPi (θ), se construyen entonces los estad´
ısticos :
k

G = −2 ln Λ = 2

Oi ln
i=1

k

D=

Oi
Ei

(Oi − Ei )2
Ei

i=1

cuya distribuci´n asint´tica, bajo condiciones de regularidad y si es cierto la hip´tesis nula,
o
o
o
es χ2
.
k−1−q
Como la estimaci´n del par´metro con los datos agrupados suele ser bastante complicado,
o
apuede utilizarse la estimaci´n con los datos de la variable pero en este caso la distribuci´n
o
o
de los estad´
ısticos anteriores se encuentra entre la de una χ2
y una χ2 .
k−1−q
k−1
Para la aplicaci´n de estos test se requieren las mismas condiciones asint´ticas expuestas
o
o
anteriormente.
• Test de Kolmogorov -Smirnov
Se basa en el concepto de la funci´n de distribuci´n emp´
o
o...