Algebra abstracta

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1.3

Funciones o aplicaciones (mapeos)

13

f(f -I([)).

DEMOSTRACION. verifica una de ellas. Si r E T, entonces ( f o f -')(I) Se = Pero ique es f -I(()?Por definicion, f -I(() es aquel elemento so E S tal que t = f(so). iCuil es el so E S tal i u e f(so)= f(s)?Claramente resulta
. que so es el propio s. De esta manera f(f -'(t))= f(so)= r En otras palabras, (f0 f-l)(t) = I para todo t E T; por lo tanto f 0 f - I = iT, la aplicacion identidad en T.
Se deja a1 lector la demostracion del ultimo resultado de esta seccion.

LEMA 1.3.5. Si f: S T e iT es la aplicacion identidad de T en si mismo e is es la d e S sobre si mismo, entonces iT 0 f = f y f 0 is = f.
+

PROBLEMAS 1.3

1. Para 10s S, T indicados, determinese sif: S

.

T define unaaplicacion; si no, expliquese por que. (a) S = conjunto de las mujeres, T = conjunto de 10s hombres, f(s) = esposo de s. (b) S = conjunto de 10s enteros positivos, T = S, f(s) = s - 1. (c) S = conjunto de 10s enteros positivos, T = conjunto de 10s enteros no negativos, f(s) = s - 1. (d) S = conjunto de 10s enteros no negativos, T = S, f(s) = s - 1. (e) S = conjunto de 10s enteros, T = S, f(s) = s - 1. (f) S= conjunto de 10s numeros reales, T = S, f(s) = &. (g) S = conjunto de 10s numeros reales positivos, T = S, f(s) = &.
+

2. En aquellas partes del Problema 1 en donde f define una funcion, determinese si ista es inyectiva, suprayectiva o ambas cosas. 3. Si f es una aplicacion inyectiva de S sobre T, pruebese que f -' es una aplicacion inyectiva de T sobre S. 4. Si f es una aplicacion inyectivade S sobre T, pruebese que f-I
=

is.

5. Dese una demostracion de la Observacion que sigue a1 Lema 1.3.2.
6 . S i f : S - Tessuprayectivayg: T + U y h : T h 0 f, pruebese que g = h. Usontalesquegof =

7. Si g: S ~:h: S T, y si f: T g = f 0 h, entonces g =' h.
+ +

+

U es inyectiva, demuistrese que si f 0
+

8. Sean S el conjunto de 10s enteros y T = (1, -I}; definase f: S f(s) =1 si s es par, f(s) = -1 si s es impar.

T como

14

CAPRULO 1 * TEMAS FUNDAMENTALES
(a) Determinese si esto define una funcion de S en T. (b) Demuestrese que f (s, + s2)= f(s, )f(s2). L Q U dice esto acerca de 10s ~ enteros? (c) Determinese si tambien es cierto que f(s,s,) = f(s,) f (s2).

9. Sea S el conjunto de 10s numeros reales. Definansef: S y g: S + S por g ( s ) = s + 1. (a)Obtener f g. . (b) Obtener g 0 f. (c) ~ E s f 0 . g= g o f ?
0

+

S por f ( s ) = s2,

10. Sea S el conjunto de 10s numeros reales y para a, b E S, donde a f 0; definase f u , b ( ~= as +- b. ) (a) Demuestrese que faSb 0 fc,d = fu,,,para ciertos u, v reales. Dense valores explicitos para u, v en terminos de a , b, c y d . (b) i E s fo,b o f c , d = f c , d o f o r b siempre? (c) Hallar todaslas forb tales que f,,* f,., = f,., o f,,b. (d) Demuestrese que f0>' existe y encuentrese su forma. 11. Sea S el conjunto de 10s enteros positivos. Definasef: S S mediante f(1) = 2, f(2) = 3, f (3) = 1, y f (s) = s para cualquier otro s E S. Demuestrese que f 0 f 0 f = is. ;Cud es f - I en este caso?
+

12. Sea S el conjunto de 10s numeros racionales no negativos, esto es, S = {m/nlm, nenteros, n r" 0), y sea T el conjunto de 10s enteros. (a) Determinese si f: S T dada por f ( m / n ) = 2'"3"dcfine una funcion valida de S en T.

(b) Si no es funcion, jc6m0 se podria modificar la definicion de f para obtener una funcion valida?

13. Sea S el conjunto de 10s enteros positivos de la forma 2"3", donde rn > 0, n > 0, y T el conjunto de 10s ntimeros racionales. Definase f: S T porf(2"'3") = m/n. Pruebese que f define una funciCln de S en T. (;En que propiedades de 10s enteros se basa esto?)
+

14. Definasef: S S, donde S es el conjunto de 10s enteros, mediantef(s) = as + b, donde a , b son enteros. Determinense condiciones necesarias y suficientes para a , b de tal manera que f 0 f = is.

15. Hallar todas las f de la forma dada en el Problema 14 tales que f f f
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