Algebra booleana

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Enunciado 1 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

Teorema lB (principio de dualidad). Demostrar que cada aserción o identidad algebraica deducible de los postulados del álgebra de Boole sigue siendo válida si las operaciones " + " y " . " y los elementos identidad (1 y 0) se intercambian entre si.
Teorema lB (principio de dualidad). Demostrar que cada aserción o identidad algebraicadeducible de los postulados del álgebra de Boole sigue siendo válida si las operaciones " + " y " . " y los elementos identidad (1 y 0) se intercambian entre si.
Respuesta 1
Tomando los postulados (a) de Huntigton e intercambiando en ellos los operadores y elementos identidad resulta:

1 a)
a + b = b + a

a . b = b . a
(1 b
2 a)
a + 0 = a

a . 1 = a
(2 b
3 a)
a + (b . c) = (a +b) . (a + c)

a . (b + c) = (a .b) + (a . c)
(3 b
4 a)
a + a’ = 1

a . a’ = 0
(4 b

Es decir, que a partir de los postulados (a) se obtienen los postulados (b). Esto demuestra lo que nos habíamos propuesto.
Enunciado 2 de algebra de Boole y álgebra de proposiciones

Demostrar que para todos los elementos a, b, c de un álgebra de Boole se verifican los siguientes teoremas:Idempotencia: a + a = a ; a . a = a
Elemento unidad: a + 1 = 1 ; a . 0 = 0
Absorción : a + (a . b) = a ; a . (a + b) = a
Asociatividad: a + (b + c) = (a + b) + c ; a . (b . c) = (a . b) . c
Complemento único: El elemento a' asociado al a es único
Involución: (a')' = a
En cualquier álgebra booleana: 0' = 1 ; 1' = 0
Leyes de Morgan (a + b)' = a' . b' ; (a . b)' = a' + b'Relación de orden: si a b a' + b = 1 ; si a b a' . b = 0
Sobre conjuntos: Cada álgebra booleana que pueda formarse es isomorfa al álgebra de conjuntos.
Demostrar que para todos los elementos a, b, c de un álgebra de Boole se verifican los siguientes teoremas:

Idempotencia: a + a = a ; a . a = a
Elemento unidad: a + 1 = 1 ; a . 0 = 0
Absorción : a + (a . b) = a ; a . (a + b) = aAsociatividad: a + (b + c) = (a + b) + c ; a . (b . c) = (a . b) . c
Complemento único: El elemento a' asociado al a es único
Involución: (a')' = a
En cualquier álgebra booleana: 0' = 1 ; 1' = 0
Leyes de Morgan (a + b)' = a' . b' ; (a . b)' = a' + b'
Relación de orden: si a b a' + b = 1 ; si a b a' . b = 0
Sobre conjuntos: Cada álgebra booleana que pueda formarse es isomorfa al álgebrade conjuntos.
Respuesta 2
En los casos que precede solo demostraremos una parte de cada teorema, deduciendo la otra del principio de dualidad.

Idempotencia
Por los axiomas 4b y 2a tenemos :
a + 0 = a + (a . a' ) = a
y aplicando el axioma 3 a :
a + (a . a' ) = (a + a) . (a + a') = a
Finalmente, por los axiomas 4 a y 2 b :
(a + a) . (a + a') = (a + a) . 1 = a + a = a
DemostradoElemento unidad
Partiendo del axioma 2 b y aplicando también los axiomas 3 a, 2 b y 4 a, tenemos :
1 + a = 1 . (1 + a) = (a + a') . (1 + a) = a + a' . 1 = a + a' = 1
Demostrado.

Absorción
Aplicando los axiomas 2b y 3b, el teorema anterior y el axioma 3b de nuevo
a + a.b = a.l + a.b = a(l + b) = a.l = a
Demostrado

Asociatividad
Para este teorema demostraremos antes que se cumple
a[(a +b) + c] = [(a + b) + c]a = a
Esto es : (por el postulado 3b) :
a[(a+b) + c] = a(a+b) + a.c = a + a.c = a = [(a+b) + c]a
donde hemos aplicado reiteradamente el teorema de absorci6n y finalmente el axioma de conmutatividad.
Con el anterior resultado supongamos que se tiene
x = [(a+b) + c] . [a + (b + c)]
aplicando los axiomas de distributividad nos queda :
[(a+b) + c]a + [(a+b) + c].(b+c) = a+ [(a+b) + c].(b.c)
donde hemos aplicado el resultado anterior. Aplicando de nuevo la distributividad, e1resultado anterior y el teorema de absorción :
a + {[(a+b) + c].b + [(a+b) + c].c} = a + {b + [(a+b) + c].c} = a + (b + c)
Por otro lado, aplicando los axiomas de distributividad, el resultado anterior y el teorema de absorción, tenemos también :
x = [(a + b) + c]. [a + (b + c)] = (a +...
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