Algebra clasica

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 326 (81384 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 18 de octubre de 2010
Leer documento completo
Vista previa del texto
ALGEBRA CLASICA
J. A. Vargas
June 19, 2006
ii
iii
Pr¶ologo
Al iniciarse el siglo XXI, es cada vez mayor la cantidad y calidad de
material que deben dominar los estudiantes de Matem¶aticas a nivel de
licenciatura, independientemente de sus planes a futuro. Esto es particu-
larmente cierto en lo que respecta al ¶algebra.
El presente libro intenta cubrir ese material agrupado en cincocap¶³tulos
correspondientes a grupos, anillos, teor¶³a de Galois, ¶algebra lineal y temas
complementarios. La situaci¶on ideal para quien aspire a adquirir una s¶olida
base algebraica, para despu¶es completar estudios de postgrado, es que
dedique un semestre a cada uno de los primeros cuatro cap¶³tulos del libro,
de manera que tenga tiempo de adquirir el lenguaje, digerir los m¶etodos y
resultadosaqu¶³ presentados; as¶³ como de interactuar con los problemas
enunciados. Tambi¶en es posible dise~nar cursos para un a~no de ¶algebra
bas¶andose en este libro; tal vez omitiendo algunas secciones.
El quinto cap¶³tulo puede ser usado como fuente para exposiciones de los
alumnos o para lecturas adicionales.
Este es un proyecto ambicioso, que requiere de bastante trabajo tanto
del alumno comodel profesor. Por otro lado, cada vez hay m¶as alumnos y
profesores competentes capaces de cubrir el material aqu¶³ incluido.
El autor con¯esa su mala intenci¶on de poner directamente en manos de
alumnos destacados, ideas y retos que sus profesores de licenciatura tal vez
no quieran darles.
El nombre del libro, Algebra Cl¶asica, concuerda con el criterio usado para
la elecci¶on de los temasa tratar y de su profundidad. El mayor prerequisito
para su comprensi¶on, es el inter¶es por el tema, junto con un curso previo
de ¶algebra lineal elemental.
Jos¶e Antonio Vargas M.
CIIDIR-Oaxaca, IPN
Oaxaca, Oax. M¶exico
Junio, 2006
iv
Contenido
1 Grupos 1
1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 De¯niciones y Primeros Resultados . . . . . . . . . .. . . . 3
1.3 Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Mor¯smos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Conjugaci¶on y Automor¯smos . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Acciones de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 El Grupo Sim¶etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Productos Directos ySemidirectos . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9 Solubilidad y Nilpotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10 Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.11 Series de Composici¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.12 Generadores y Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.13 Grupos Abelianos Finitamente Generados . . . . . . . . . . 411.14 Ejercicios Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Anillos 49
2.1 De¯niciones y Primeros Resultados . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Funciones Aritm¶eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Mor¯smos e Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Anillos Conmutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 Localizaci¶on . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6 Anillos Euclideanos, Principales y de Factorizaci¶on ¶Unica . 64
2.7 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8 Polinomios Sim¶etricos, Resultante y Discriminante . . . . . 79
2.9 M¶odulos y Anillos Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.10 Series Formales de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . .. 88
2.11 Ejercicios Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
vi Contenido
3 Campos y Teor¶³a de Galois 93
3.1 Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 Cerradura Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4 Separabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
tracking img