Algebra de boole

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ÁLGEBRA DE BOOLE

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Él álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.

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[pic]ElÁlgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos:

1.-Como retículo

El álgebra de Boole es un retículo (A, [pic], +), donde el conjunto A esta formado por dos elementos A={0, 1}, como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:
1. Ley de Idempotencia: 3. Ley de Conmutatividad:
[pic][pic]
[pic] [pic]
2. Ley de Asociatividad: 4. Ley de Cancelativo
[pic] [pic]
[pic] [pic]

2.-Como anillo

El Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de Anillo:
• Grupo abeliano respecto a (+)
El conjunto A= {0,1} es un Grupo abeliano respecto a (+):
1. (+) es una operación interna en A:
[pic]
2. Es asociativa:
[pic]
3. Tiene elemento neutro
[pic]
4. Tieneelemento simétrico:
[pic]
5. es conmutativa:
[pic]
[editar] Grupo abeliano respecto a (·)
• El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a ([pic]):
6. ([pic]) es una operación interna en A:
[pic]
7. Es asociativa:
[pic]
8. Tiene elemento neutro
[pic]
9. Tiene elemento simétrico:
[pic]
10. es conmutativa:
[pic]

3.-Distributivo

El conjunto A= {0,1} es un Grupo abelianorespecto a (+) y ([pic]) y es distributiva:
11. La operación (+) es distributiva respecto a ([pic]):
[pic]
[pic]
12. La operación ([pic]) es distributiva respecto a (+):
[pic]
[pic]
Como resultado podemos decir que el Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de anillo conmutativo y con elemento neutro respecto a las dos operaciones (+) y ([pic]).

Operaciones

Hemos definido el conjunto A= {0,1} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones.

Operación suma
|a |b |a + b |
|0 |0 |0 |
|0 |1 |1 |
|1 |0 |1 |
|1 |1 |1 |

La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A: [pic]
Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dosinterruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

| |[pic] |[pic] |[pic] |

Operación producto

|a |b |a |
| | |[pic]|
| | |b |
|0 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|1 |0 |0 |
|1 |1 |1 |

Laoperación producto ([pic]) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A: [pic]
Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores
[pic]
solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic]|
|a |[pi|
| |c] |
|0 |1 |
|1 |0 |

Operación negación

La operación negación presenta el opuesto del valor de a: [pic]
Un interruptor inverso equivale a esta operación:
|[pic] |[pic] |

|a |b |[pic] |
|0 |0 |1 |
|0 |1 |1 |
|1 |0 |0 |
|1 |1 |1 |

Operaciones combinadasPartiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo: [pic]

Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.
[pic]
La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad....
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