Algebra de boole

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EL ALGEBRA DE BOOLE

I. PROPIEDADES Y TEOREMAS
1.1. Propiedades
1.1.1. Propiedad conmutativa
De la suma: a+b = b+a
Del producto: a*b = b*a

1.1.2 Propiedad asociativa
De la suma: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
Del producto: (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c

1.1.3. Propiedad distributiva
De la suma respecto al producto: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)
Del producto respecto a la suma: a + (b*c) =(a+b) * (a+c)

1.1.4. Propiedad del elemento neutro
De la suma: a+0=a
Del producto: a.1=a

1.1.5. Propiedad del elemento inverso
De la suma: a + a=0
Del producto: a . a=1

1.2. Teoremas
Derivados de las propiedades fundamentales, existen una serie de Teoremas muy
Interesantes e importantes que usaremos a lo largo de todo el curso

Teorema 1. Multiplicación por cero
a) A.0= 0
b) A+1 = 1
Demostración del inciso (a)
Explicación:
A.0 = A.0 + 0 0 es el neutro de la suma
= A.0 + A. A el producto de una variable por su complemento da 0
= A. (0 + A) distributividad
= A. (A) una variable más el neutro no se altera
= 0 una variable por su complemento da 0

Teorema 2. Absorción
a) A + AB = A
b) A(A + B) = A
De aquí enadelante, de acuerdo al principio de dualidad demostrar sólo un inciso de los
Siguientes teoremas y automáticamente el inciso dual quedará demostrado.
Notación. De aquí en adelante, el símbolo de multiplicación (.) se omitirá en ocasiones por comodidad, así por ejemplo A.B se escribirá AB, o bien, (A+B). (C+D) se escribirá (A+B) (C+D) siendo diferente de A+B.C+D, lo cual se escribirá A+BC+D.Demostrando el inciso (a)
Explicación:
A + AB = A.1 + AB 1 es el neutro del producto
= A (1 + B) distributividad
= A (1) Teorema 1
= A es el neutro del producto
Este teorema se puede usar en diversos casos de simplificación, basta con usar identificar en una suma, una expresión que se repite primero en forma aislada y luego multiplicando a otra expresión.Ejemplos.
La expresión XY + XYZ por absorción es igual a XY
La expresión A+ AB por absorción es igual con A

Teorema 3. Cancelación
a) A + AB = A + B
b) A(A + B) = A B
Demostración del inciso (a)
Explicación:
A + AB = (A+ A) (A+B) distributividad
= 1. (A+B) la suma de una variable con su complemento es 1
= A+B 1 es el neutro del Producto
Este teorema se puede usar enla simplificación de expresiones cuando encontramos una expresión sumada Con su complemento multiplicado por otra expresión (o el dual).
Ejemplos:
La expresión A + ABC por cancelación es igual a A + BC
La expresión A + AB por cancelación es igual a A + B
La expresión XY + XY Z por cancelación es igual a XY + Z

Teorema 4. Cancelación
a) AB + AB = B
b) (A+B) (A+B)=B
Demostración delinciso (a)
Explicación:
AB + AB = (A+ A) B distributividad
= 1.B la suma de una variable con su complemento es 1
= B 1 es el neutro del producto
Para usar este resultado hay que identificar dos términos que tienen un factor común y el término que no es común en una de ellas es el complemento del de la otra.
Ejemplos:
La expresión ABC+ABC, por cancelación es igual aBC
La expresión XYZ+ XY Z, por cancelación es igual a Z

Teorema 5. Idempotencia
a) A.A = A
b\ A+A= A
La demostración del inciso (b) de este teorema es inmediata del teorema de absorción, ya que A + A =A+ A.1.
Este teorema implica que cuando existen términos semejantes en una expresión, basta con escribir uno de ellos, o bien, que un término puede "desdoblarse" tantas veces como se quiera.También esto implica que An = A para cualquier número n entero positivo.
Ejemplos:
La expresión (X+Y) (X+Y) por idempotencia es igual a X+Y
La expresión XYZXYX por idempotencia es igual a XYZ
La expresión XY+Z+ XY por idempotencia es igual a XY+Z

Teorema 6. Consenso
a) AB + AC + BC = AB + AC
b) (A+B) (A+C) (B+C) = (A+B) (A+C)
Demostración del inciso (a)
Explicación:
AB + AC + BC = AB...
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