Algebra de boole

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UNIDAD I

INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS

1. 2.

ÁLGEBRA DE BOOLE MÉTODO DE REDUCCIÓN DE MAPAS DE KARNAUGH

R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R.

1-1

1. INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS

1.1 ÁLGEBRA DE BOOLE

1. ÁLGEBRA DE BOOLE
El álgebra de Boole se llama así debido a George Boole, quien la desarrolló a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole denominada tambiénálgebra de la lógica, permite prescindir de la intuición y simplificar deductivamente afirmaciones lógicas que son todavía más complejas. El objetivo principal de este capítulo es llegar a manejar los postulados y teoremas del álgebra de Boole como herramienta básica en el análisis y síntesis de circuitos digitales.

1.1. DEFINICIONES.
El sistema matemático denominado álgebra Booleana, es un métodosimbólico de estudiar relaciones lógicas, el cual se desarrolla en tres partes: 1. 2. 3. Se establecen los conceptos fundamentales (símbolos o términos no definidos). Se define un conjunto de postulados que formen la base del álgebra. Se constituyen los teoremas fundamentales del álgebra a partir de los postulados. A su vez, las exigencias y condiciones que deben reunir los postulados son: 1. 2. 3.Los postulados deben ser coherentes o consistentes para que un álgebra definida pueda desarrollarse por deducciones lógicas. En caso contrario, el sistema resultaría contradictorio. Los postulados deben ser independientes; es decir, irreductibles recíprocamente (libre de reducciones). Los postulados deben ser tan simples en su enunciado como sea posible; es decir, no separables en dos o máspartes.

1.2. POSTULADOS.
En base a los elementos primitivos establecidos anteriormente, se formulan los siguientes postulados (axiomas), que por definición no requieren de demostración. P.1. P.2.a. P.2.b. P.3.a. P.3.b. Existe un conjunto M de elementos sujetos a una relación de equivalencia, denotada por el signo = que satisfacen el principio de sustitución. Para toda (A , B) 0 M, A + B es unaoperación binaria denotada por el signo +, tal que (A + B) 0 M. Para toda (A , B) 0 M, A C B es una operación binaria denotada por el signo C, tal que (A C B) 0 M. Existe un elemento 0 en M, tal que A + 0 = A para toda A 0 M. Existe un elemento 1 en M, tal que A C 1 = A para toda A 0 M.
R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R.

1-2

1. INTRODUCCIÓN A LOS CIRCUITOS LÓGICOS

1.1 ÁLGEBRA DE BOOLE

P.4.a.P.4.b. P.5.a. P.5.b. P.6.a.

Para toda (A , B) 0 M; A + B = B + A Para toda (A , B) 0 M; A C B = B C A Para toda (A, B, C) 0 M; A + (B C C) = (A + B) C (A + C) Para toda (A, B, C) 0 M; A C (B + C) = (A C B) + (A C C) Para todo elemento A 0 M, existe un elemento , tal que:

P.6.b.

Para todo elemento A 0 M, existe un elemento

, tal que:

P.7.

Existen por lo menos (A , B) 0 M, tal que:Se habrá observado cierta similitud entre estos postulados y los del álgebra ordinaria. Nótese sin embargo, que la primera ley distributiva P.5.a. no es válida en el álgebra ordinaria y que tampoco existe ningún elemento en dicha álgebra.

También se notará que los postulados de Huntington se presentaron por pares. Una observación más detenida, muestra que existe una dualidad entre + y C, lomismo que entre 1 y 0. Si el símbolo + se substituye por C y C por +, así como todos los 1 se sustituyen por 0 y todos los 0 por 1 en cualquiera de los postulados de cada par, el resultado es el otro postulado. A causa de esta dualidad fundamental, cada teorema que se presenta tendrá su dual que se obtendrá efectuando la sustitución mencionada; por tanto, la demostración de un teorema implica lavalidez de su teorema dual.

1.3. TEOREMAS FUNDAMENTALES.
A continuación se presentan los principales teoremas del álgebra de Boole, los cuales son la base del trabajo subsecuente. Con lo visto hasta aquí es posible demostrar dichos teoremas por cualesquiera de los siguientes métodos. 1. 2. 3. Demostración algebraica (empleando postulados y teoremas ya demostrados). Gráficamente (por medio...
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