Algebra de funciones

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Aplicaciones de Mapeo y Transformación Conforme

La Composición de funciones
Dadas las funciones f: A → B y g: B → C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define una función composición (g ο f ): A → C tal que (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

La función identidad
Dado un conjunto , la función que asigna a cada x de el mismo x de A, sedenomina función identidad. También se simboliza por 1A o idA.
Dada cualquier función , se cumple que es igual a f y que es también igual a , puesto que tenemos que para todo

y también

Se verifica que:

* la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.
* la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva.
* la composición de dos funciones biyectivas esbiyectiva.

La Restricción de una Función

Sea C un subconjunto de A. La inclusión de C en A permite definir una función de C en A que asigna a cada elemento de C el mismo elemento, pero considerado como elemento de A. Decimos que tal función es la función definida por la inclusión.
Sea y sea un subconjunto de . Sea i la función definida por la inclusión. La composición define una función de enque se llama la restricción de f a C y que se denota por .
Advertencia: muchas veces, especialmente con funciones numéricas, se usa la misma notación para la función y su restricción, esperando que del contexto pueda deducirse la diferencia.

Función inversa
Artículo principal: Función recíproca
Dada una función , se llama una (función) inversa de , a una función tal que se cumple lassiguientes condiciones:
.
Decimos también que la función f es invertible
Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por .

Se verifica también las siguientes propiedades.
* Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.
* La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la funciónoriginal. O sea que (f − 1) − 1 = f.
* La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido.
.

El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas

Sea A un conjunto y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en sí mismo. El conjunto Biy(A) no es vacío, porque almenos la función identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funciones biyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define una operación algebraica en Biy(A). Se verifica que
1. La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que
2. La función identidad es un neutro respecto a laoperación. O sea, , tenemos que .
3. Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función inversa de f. O sea que .
Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto de las funciones biyectivas , Biy(A) es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones que recibe el nombre de grupo simétrico de .
Cuando A es unconjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman también permutaciones, por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de permutaciones.

Terminología, tradición y convenios
La noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desde su introducción en el siglo XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las nociones de matemáticas.Una de las fuentes de la noción es el estudio del movimiento cinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable y parámetro.
Sea una función. La notación y definición dadas son posteriores a la invención de la teoría de conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómo se decía anteriormente que x era un elemento de ? Diciendo que x era una variable...
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