Algebra de matrices

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ÁLGEBRA DE MATRICES

Definición de matriz: Es un arreglo ordenado de números reales, en filas y columnas, entre corchetes.
Entradas o elementos de la matriz: Son los números reales del arreglo.
Renglón: Son los elementos de cualquier línea horizontal.
Columna: Son los elementos de cualquier línea vertical.
Tamaño de una matriz: Es el número de renglones (m) y de columnas (n) de la matriz, yse expresa como m x n.
Matriz renglón o vector renglón: Es una matriz de 1 x n.
Matriz columna o vector columna: Es una matriz de m x 1.
Matriz cero: Es una matriz donde todos sus elementos son cero.
Matriz cuadrada: Es una matriz que tiene el mismo número de renglones que de columnas.

Representación general de una matriz: Los elementos de una matriz se representan por una literal con dossub-índices; el primero indica el número de renglón y el segundo el número de columna a la que pertenece el elemento; [pic] significa un elemento de la matriz perteneciente al renglón i y a la columna j; [pic] significa el elemento del renglón 3 y de la columna 2.

OPERACIONES CON MATRICES

Sean A = [pic] y B = [pic] dos matrices del mismo tamaño (mxn elementos).

Igualdad de matricesA = B [pic]. Es decir, dos matrices son iguales si cada uno de los elementos de la matriz A es igual a cada uno de los elementos correspondientes de la matriz B.

Multiplicación de una matriz por un escalar

Si c es cualquier número real, cA = [pic]. Es decir, para multiplicar una matriz por cualquier número real se multiplica cada uno de sus elementos por dicho número real.

Suma y restade matrices

A + B = [pic]. Es decir, para sumar dos matrices se suman uno a uno cada elemento correspondiente.
A – B = [pic]. Es decir, para restar dos matrices se restan uno a uno cada elemento correspondiente.

Ejemplo 1: Determinar los valores de las variables, tal que las siguientes dos matrices sean iguales.
A = [pic] B = [pic]

Solución:

[pic] [pic] [pic] [pic]

Ejemplo2: Una cadena de tiendas de electrónica tiene dos distribuidores (D1, D2) en una determinada ciudad. Durante el mes de octubre, las ventas de televisores (T), videocaseteras (V) y estéreos (E) se muestran en la tabla 1. La existencia de estos aparatos en los dos almacenes, al inicio de octubre, se muestran en la tabla 2. Las entregas de los aparatos a los almacenes, en el mes de octubre, semuestran en la tabla 3.

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3
|V |T |E | |V |T |E | |V |T |E | |D1 |35 |30 |20 | |25 |35 |10 | |25 |35 |15 | |D2 |20 |30 |25 | |12 |50 |40 | |15 |10 |0 | |Ventas en octubre Existencia al inicio de octubre Entregas en octubre

La Dirección establece ventas objetivo para noviembre de un 40% de aumento sobre las ventas de octubre. Bajo estascircunstancias, expresar:
a) Cuáles son las ventas proyectadas para el mes de noviembre.
b) Cuál es el número de los tres artículos en existencia, al final del mes de octubre.
c) Cuáles son las entregas mínimas que se requerirán en noviembre, si se deben cumplir las ventas meta para el mes de noviembre.

Solución:

Formamos las siguientes matrices:
A = [pic] B = [pic] C = [pic]
Ventas enoctubre Existencia al inicio de Oct. Entregas en octubre

a) La matriz que representa las ventas proyectadas para el mes de noviembre resulta de multiplicar la matriz A por el escalar 1.4, ya que se desea un aumento de ventas del 40% sobre las ventas de octubre. Esta es la matriz D
D = 1.4 A = [pic][pic]. Vemos por ejemplo que las ventas proyectadas para el distribuidor 1 son 49videocaseteras, 42 televisores y 28 estéreos.

b) Para cada almacén y para cada artículo, tenemos que el número de artículos al final de octubre es igual al número de artículos al inicio de octubre, más el número de artículos recibidos durante el mes de octubre, menos el número de artículos vendidos en el mes de octubre. Esto se puede representar por la matriz E = B + C – A.
E = [pic] + [pic] –...
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