Algebra lineal examen

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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS ´ ESCUELA DE MATEMATICA I CICLO, 2010

´ MA1004 ALGEBRA LINEAL
P RIMER EXAMEN PARCIAL 17 DE ABRIL , 2010 ´ Duracion: 3 horas Instrucciones: Resuelvalos cinco ejercicios que se le presentan, utilizando bol´grafo de tinta azul ı o negra. Escriba con orden y claridad. Las respuestas deben ser suficientemente justificadas. La resoluci´ n de este examenes individual. (Valor: 100 puntos) o 1. Para la siguiente matriz aumentada que corresponde a un sistema de ecuaciones lineales: 1 0 0  0 a−2 0 A=  0 0 b+1 0 0 c   2 0   c  0

a) (6 puntos)Determine cu´ les son los valores de a, b y c de tal forma que el Rango a de la matriz aumentada del sistema sea 1. b) (6 puntos) Determine cu´ les son los valores de a, b y c de tal forma que elRango a de la matriz aumentada del sistema sea 2. c) (6 puntos) Determine cu´ les son los valores de a, b y c de tal forma que el Rango a de la matriz aumentada del sistema sea 3. d) (4 puntos) Determinecu´ les son los valores de a, b y c de tal forma que el sistema a ´ no tenga solucion. ´ ´ e) (4 puntos) Determine el conjunto solucion del sistema, cuando tiene solucion ´ unica. 2. Sea A ∈ M(n, R),A es una matriz ortogonal si AAt = In . a) (5 puntos) Justifique por qu´ toda matriz ortogonal A es invertible. e ´ b) (5 puntos) Justifique por qu´ toda matriz ortogonal A tiene determinante 1 o −1. ec) (10 puntos) Compruebe que la siguiente matriz es ortogonal.    P= 
1 √ 2 − √1 2 1 √ 6 1 √ 6 − √2 6 1 √ 3 1 √ 3 1 √ 3

0

  

d) (4 puntos) Sin hacer c´ lculos adicionales, escriba lamatriz P−1 . a

3. Sean A =

2 −1 0 0 −1 0

 1 0 y B =  −2 1 . −1 2



a) (10 puntos) Determine la siguiente matriz ( AB − I2 )−1 , si existe. ´ b) (10 puntos) Utilice solamentealgebra de matrices para encontrar una matriz X tal t X t B − I = Xt. que A 2 4. (14 puntos) ¿Para cu´ les valores de a, si existen, el conjunto a

(1, a, 0, 0)t , (1, −3, a + 1, 0)t , (0, 1, −4, 0)t es...
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