Algebra lineal - sistema defectuoso

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  • Publicado : 18 de enero de 2010
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Un sistema de ecuaciones es DEFECTUOSO cuando el número de Incógnitas es Mayor que número de Ecuaciones; como caso especial se tratara el que tiene n Ecuaciones yn+1 Incógnitas.
Todos los sistemas Defectuosos tienen un número infinito de soluciones, ya que también pueden ser considerados como “Sistemas Dependientes”, loscuales como su nombre lo dice, los valores de algunas de las  variables “dependen” del valor asignado a una de ellas que es considerada como término independienteo constante.
Obtener la solución general al resolver el siguiente sistema defectuoso se Darán Dos Soluciones.
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Solución 1.
Se escribe la matriz Aumentadaque representa al sistema y se realizan las transformaciones necesarias de renglón.
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ahora  el Renglón 1 se Multiplica por ( 1/2 ),
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también seMultiplicará el Renglón 1 por ( -3 ) y el Resultado se Sumará con el Renglón 2
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ahora se Multiplica la Ecuación 2 por ( -2 ).
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esta última matrizrepresenta al sistema de ecuaciones equivalente siguiente:
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de la ecuación 1 y 2 se puede despejar  x  y  y  respectivamente en función de z, quedando la solucióngeneral:
[pic]       [pic]       
Algunas de las soluciones particulares son:
Si:
[pic]     [pic]     [pic]
     etc... 
Solución 2.
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se traspasa allado derecho de la Ecuación  una de las Variables y la consideraremos una Constante
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se calculan las Deltas  [pic]
[pic] 
utilizando la Regla de Cramer:[pic]
Como se puede observar las Ecuaciones Resultantes son Iguales a las que encontramos con anterioridad ahora si le asignamos cualquier Valor a “z”
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