Algebra lineal

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ESPACIOS VECTORIALES

Definición:
Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalar por un vector. La sumade vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u ⊕ v. la multiplicación es una regla que asocia a unescalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c Θ u. diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas.
Axiomas de unespacio escalar:
i. Si x Є V y y Є V, entonces x + y Є V (es decir, V es cerrado para la suma)
ii. Para todos x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma)
iii.Existe un vector 0 Є V tal que para todo x Є V, x + 0 = 0 + x (0 se conoce como neutro aditivo)
iv. Si x Є V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se conoce como el inverso aditivo de x)v. Si x y y están en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa de la suma de vectores)
vi. Si x Є V, y α es un escalar, entonces αx Є V (se dice que V es cerrado para la multiplicaciónescalar)
vii. Si x y y están en V y si α es un escalar, entonces α(x + y) = αx +αy (primera ley distributiva)
viii. Si x Є V y si α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx (segunda leydistributiva)
ix. Si x Є V y si α y β son escalares, entonces α(βx) = αβx (ley asociativa de la multiplicación por escalar)
x. Para todo vector x Є V, 1x = x (al escalar 1 se le conoce como neutromultiplicativo)

Ejemplos:
Indique cual opción enuncia la propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto.
1.- (c + k) ⊙ x = (c ⊙ x) ⊕ (k ⊙ x)
2.- x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x
3.- x ⊕ y = y⊕ x ← Conmutatividad
4.- c ⊙ x es vector ← Cerradura
5.- x ⊕ (−x) = (−x) ⊕ x = 0
6.- x ⊕ y es vector ← Cerradura

Indique cual opción describe la propiedad:
x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x
1.- Cerradura...
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