Algebra lineal

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 75 (18692 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 8 de febrero de 2010
Leer documento completo
Vista previa del texto
Geometria Analítica y Vectorial
A b r a h a m A s m a r C h a rri s P a tri ci a R e s t r e p o d e P e l á e z R o s a Fran c o Arb elá ez F ernando Varga s H ernández

Resumen Geometría Vectorial y Analítica. Una introducción al Algebra Lineal
Abraham Asmar Charris Patricia Restrepo de Peláez Fernando Vargas Hernández Rosa Franco Arbeláez

Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional deColombia Sede Medellín.

Capítulo 1. Vectores geométricos en el plano
1.1 Conceptos básicos
V ector geometrico: Segmento de recta orientado o dirigido. Se denota por: !, !, !,... o indicando el u v w ! punto inicial y …nal, AB.

1.2

Suma de vectores
Regla del paralelogramo Si los vectores ! y ! no son paralelos, se hacen coincidir sus puntos iniciales u v y se construye el paralelogramodeterminado por dichos vectores. El vector suma ! + ! se de…ne como el vector que va desde el punto inicial de ! y de !; hasta u v u v el vértice opuesto a este punto (…gura).

1

Regla del triángulo Se dibuja ! a partir del extremo …nal de !: El vector suma ! + ! se de…ne como v u u v el vector que va desde el punto inicial de ! al punto …nal de ! (…gura). u v

Propiedades básicas de lasuma de vectores: Sean !, ! y ! vectores geométricos cualesquiera. u v z 1: ! + ! es un vector geométrico. u v 2: ! + ! = ! + ! u v v u 3:(! + !) + ! = ! + (! + !) u v z u v z ! 4: ! + 0 = ! u u ! 5: ! + ( !) = 0 u u Para todo par de vectores ! y ! se cumple la desigualdad u v k! + !k u v k!k + k!k u v

la cual se denomina desigualdad triangular. La igualdad k! + !k = k!k + k!k se da únicamentecuando ! y ! son paralelos con la misma u v u v u v dirección.

1.3

Producto de un escalar por un vector

De…nición:

ka!k = jaj k!k u u ! ! a! = 0 si y sólo si a = 0 o ! = 0 u u ! es paralelo a ! au u

Propiedades básicas del producto de un escalar por un vector: Cualesquiera sean los vectores ! y ! y los escalares a y b: u v

2

1: 2: 3: 4: 5:

a! es un vector geométrico u a(b!)= (ab)! u u 1! = ! u u a(! + !) = a! + a! u v u v (a + b)! = a! + b! u u u

! y ! son paralelos si y sólo si ! es múltiplo escalar de ! u v v u o ! es múltiplo escalar de !: u v

Teorema de la proporción: Sean m y n números positivos y sea P el punto de un segmento AB que lo divide de tal modo que ! AP m ! = n PB Si O es cualquier punto del plano, entonces ! OP = ! ! n m OA + OB m+n m+nComo caso particular del teorema de la proporción se tiene que: Si M es el punto medio de un segmento AB y O es cualquier punto del plano entonces ! 1 ! 1 ! OM = OA + OB 2 2

1.4

Descomposición de un vector

Descomposición de ! en las direcciones de los vectores ! y !. z u v

Si ! y ! son vectores no paralelos entonces para todo vector ! u v z existen únicos escalares a y b tales que ! = a!+ b! z u v

3

1.5

Proyección de un vector sobre otro vector
Sea ! un vector no nulo y ! un vector cualquiera. u z ! = !; P roy! ! = !: Si z 0 0 u z En este caso la componente escalar de ! en la dirección de ! es 0: z u ! Si ! 6= 0 y es el ángulo entre ! y !; z z u ! u P roy! ! = (k!k cos ) ! : z u z kuk En este caso la componente escalar de ! en la dirección de ! es z u k!k cos z ! = !+ !; donde ! = P roy! ! es paralelo a ! y ! es perpendicular a ! (ver …gura). u q u z p q p u z

1.6

Producto escalar

Dados dos vectores geométricos cualesquiera ! y !, se de…ne el producto escalar ! !; como sigue : v u v u ! ! Si ! = 0 o ! = 0 ; ! ! = 0 u v v u ! ! ! Si ! 6= 0 ; v 6= 0 y u es el ángulo entre ! y !; v u ! ! = k!k k!k cos v u v u Como consecuencia:

! ! = 0 si y sólo si !y ! son perpendiculares v u v u

Además:

4

j! !j v u

k!k k!k v u

! ! Esta desigualdad, la cual es válida también para ! = 0 o ! = 0 ; se conoce como desigualdad de u v Cauchy-Schwarz. Propiedades del producto escalar: Cualesquiera sean los vectores !, !, ! y el escalar r; se satisface u v w lo siguiente:

1. 2. 3. 4.

! !=! ! u v v u ! ! = k!k2 u u u (r!) ! = r(! !) = ! u v u...
tracking img