Algebra lineal

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas porcomputadora, ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre.
Contenido[ocultar] * 1 Conceptos básicos * 2 Contexto general * 2.1 Espacio vectorial de polinomios * 3Generalización y temas relacionados * 4 Véase también * 5 Enlaces externos |
Conceptos básicos [editar]

Representación gráfica de la suma de dos vectores en R2
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un vector de n componentes) por ser el mássimple y a la vez el más usado en aplicaciones.
Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma el espacio vectorial .
Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio y (6,-1,0,2,4) es un elemento de . En particular, corresponde a un plano cartesiano y es el espacioeuclidiano provisto de un sistema de coordenadas.
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
Para sumar dos vectores en , se suman las coordenadas en posiciones correspondientes:

Ejemplo: La suma de (3,-1, 5) con (2,4,0) es (3+2, -1+4, 5+0)=(5,3,5).
Esta operación puede interpretarse gráficamente comotrasladar uno de los vectores sumados para que "inicie" al final del otro. Esta regla suele llamarse también regla del paralelogramo por la figura que aparece en el diagrama.
La segunda operación básica es el producto por un escalar, que en este ejemplo corresponde a multiplicar un número real (un escalar) por un vector, y está dado por la regla:

La interpretación gráfica del producto por escalar esuna contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar) junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo).
Las funciones T entre los espacios vectoriales descritos de interés para el álgebra lineal son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes para todo par de vectores u,v y todo escalar r:

Las funciones que cumplen las condicionesanteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a matrices de números reales.
Específicamente, las transformaciones lineales entre y son las matrices de tamaño .
Nota: En álgebra lineal suelen representarse los vectores en forma vertical en vez de horizontal, de modo que las transformaciones lineales correspondan a multiplicar matrices.

El álgebralineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.
Contexto general [editar]
De manera más formal, el álgebra lineal estudiaconjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).
Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales...