algebra lineal
Páginas: 195 (48549 palabras)
Publicado: 7 de abril de 2013
´
ALGEBRA LINEAL
Apuntes elaborados por
Juan Gonz´lez-Meneses L´pez.
a
o
Curso 2008/2009
´
Departamento de Algebra.
Universidad de Sevilla.
´
Indice general
Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales. . .
1
1.1.
Matrices: definici´n, operaciones y propiedades b´sicas. . . . . . .
o
a
1
1.2.
Transformaciones elementales de filas: matricesescalonadas y reducidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.
Dependencia lineal y rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4.
Matrices elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.
Matrices invertibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.6.
Transformacioneselementales de columnas. . . . . . . . . . . . . . .
21
1.7.
Determinantes: definici´n y propiedades. Teorema de Cauchy-Binet. 23
o
1.8.
Desarrollo por filas y columnas. Adjunta e inversa.
.........
30
1.9.
C´lculo de determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
33
1.10.
Rango y menores. M´todo del orlado. . . . . . . . . . . . . . . . . .
e35
1.11.
Sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.12.
M´todo de eliminaci´n de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
o
40
1.13.
M´todo de Gauss-Jordan. Teorema de Rouch´-Frobenius. . . . . . .
e
e
45
1.14.
Regla de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
iii
iv
Tema 2. Espaciosvectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.1.
Estructuras algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.2.
Dependencia lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.3.
Sistemas de generadores y bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.4.
Teorema de la base. Dimensi´n. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
o
59
2.5.
Dimensi´n y sistemas de vectores. Coordenadas. . . . . . . . . . . .
o
61
2.6.
Cambio de base.
............................
63
Tema 3. Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.1.
Definici´n y propiedades b´sicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
66
3.2.
Ecuacionesparam´tricas e impl´
e
ıcitas. . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.3.
Ecuaciones y dimensi´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
71
3.4.
Intersecci´n y suma de variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
74
3.5.
Propiedades de la suma de variedades. F´rmula de la dimensi´n. . .
o
o
76
3.6.
Descomposici´n de variedades. Espacio producto ycociente. . . . .
o
78
3.7.
Propiedades de la suma directa. Espacio producto.
.........
81
3.8.
Espacio cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Tema 4. Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.1.
Definici´n y propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
87
4.2.
Imagen yn´cleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
89
4.3.
Imagen e imagen inversa de variedades lineales. Aplicaciones inyectivas. 91
4.4.
Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.5.
Aplicaciones lineales y matrices I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
v
4.6.
Aplicaciones lineales y matrices II. . . .. . . . . . . . . . . . . . .
98
4.7.
Primer teorema de isomorf´
ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.8.
Cambio de base. Matrices equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.9.
Endomorfismos. Matrices semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.10.
El espacio vectorial Hom(V, V ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Tema 5....
ALGEBRA LINEAL
Apuntes elaborados por
Juan Gonz´lez-Meneses L´pez.
a
o
Curso 2008/2009
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Departamento de Algebra.
Universidad de Sevilla.
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Indice general
Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales. . .
1
1.1.
Matrices: definici´n, operaciones y propiedades b´sicas. . . . . . .
o
a
1
1.2.
Transformaciones elementales de filas: matricesescalonadas y reducidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.
Dependencia lineal y rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4.
Matrices elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.
Matrices invertibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.6.
Transformacioneselementales de columnas. . . . . . . . . . . . . . .
21
1.7.
Determinantes: definici´n y propiedades. Teorema de Cauchy-Binet. 23
o
1.8.
Desarrollo por filas y columnas. Adjunta e inversa.
.........
30
1.9.
C´lculo de determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
33
1.10.
Rango y menores. M´todo del orlado. . . . . . . . . . . . . . . . . .
e35
1.11.
Sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.12.
M´todo de eliminaci´n de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
o
40
1.13.
M´todo de Gauss-Jordan. Teorema de Rouch´-Frobenius. . . . . . .
e
e
45
1.14.
Regla de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
iii
iv
Tema 2. Espaciosvectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.1.
Estructuras algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.2.
Dependencia lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.3.
Sistemas de generadores y bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.4.
Teorema de la base. Dimensi´n. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
o
59
2.5.
Dimensi´n y sistemas de vectores. Coordenadas. . . . . . . . . . . .
o
61
2.6.
Cambio de base.
............................
63
Tema 3. Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.1.
Definici´n y propiedades b´sicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
66
3.2.
Ecuacionesparam´tricas e impl´
e
ıcitas. . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.3.
Ecuaciones y dimensi´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
71
3.4.
Intersecci´n y suma de variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
74
3.5.
Propiedades de la suma de variedades. F´rmula de la dimensi´n. . .
o
o
76
3.6.
Descomposici´n de variedades. Espacio producto ycociente. . . . .
o
78
3.7.
Propiedades de la suma directa. Espacio producto.
.........
81
3.8.
Espacio cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Tema 4. Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.1.
Definici´n y propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
87
4.2.
Imagen yn´cleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
89
4.3.
Imagen e imagen inversa de variedades lineales. Aplicaciones inyectivas. 91
4.4.
Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.5.
Aplicaciones lineales y matrices I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
v
4.6.
Aplicaciones lineales y matrices II. . . .. . . . . . . . . . . . . . .
98
4.7.
Primer teorema de isomorf´
ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.8.
Cambio de base. Matrices equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.9.
Endomorfismos. Matrices semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.10.
El espacio vectorial Hom(V, V ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Tema 5....
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