Algebra lineal

Páginas: 9 (2184 palabras) Publicado: 30 de junio de 2011
VECTORES Y VALORES
Un vector es un segmento con longitud, dirección y sentido definidos, y es por lo regular utilizado, en matemáticas y física, teniendo diferentes usos y significados, según el área donde se utiliza, ya que no solo es utilizado en esas dos, yo, como ingeniero en sistemas, los vectores y las matrices son el pan de cada día, dentro de la programación orientada a objetos.
Unvalor característico es un valor escalar, y un vector característico, está ligado sumamente a estos valores, ya que si no cumplen con la formula Av.= λv, no puede ser llamado vector característico.
Los vectores propios de una matriz son vectores invariantes bajo la multiplicación por ella. Veamos la definición matemática
Sea A una matriz cuadrada, un número real se dice que es un valor propio o uneigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, xo tal que: Axo = _ xo Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene la dirección, posiblemente sólo su longitud y/o sentido se modifique. El vector xo se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio.

DEFINICIÓN DE VECTOR Y VALORPROPIO

Los vectores propios, auto vectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, auto valor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por susvectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

* Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.[

* El valor propio de un vector propio es elfactor de escala por el que ha sido multiplicado.
Ecuación del valor propio o auto valor
Matemáticamente, vλ es un vector propio y λ el valor propio correspondiente de una transformación T si verifica la ecuación:

Donde T(vλ) es el vector obtenido al aplicar la transformación T a vλ.
Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que para todos los escalares a, b, y los vectoresv, w). Considérese una base en ese espacio vectorial. Entonces, T y vλ pueden representarse en relación a esa base mediante una matriz AT y un vector columna vλ—un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor propio en esta representación matricial se representa de la siguiente forma:

Donde la yuxtaposición es un producto de matrices. Dado que en esta circunstancia la transformación T ysu representación matricial AT son equivalentes, a menudo podemos emplear sólo T para la representación matricial y la transformación. Esto es equivalente a un conjunto de n combinaciones lineales, donde n es el número de vectores de la base. En esta ecuación, tanto el auto valor λ y las n componentes de vλ son desconocidos. Sin embargo, a veces es poco natural o incluso imposible escribir laecuación de auto vector en forma matricial. Esto ocurre, por ejemplo, cuando el espacio vectorial es de dimensión infinita, como por ejemplo en el caso de la cuerda mostrada anteriormente. Dependiendo de la naturaleza de la transformación T y el espacio al que se aplica, puede ser ventajoso representar la ecuación de auto valor como un conjunto de ecuaciones diferenciales, donde los auto vectoresreciben a menudo el nombre de auto funciones del operador diferencial que representa a T. Por ejemplo, la derivación misma es una transformación lineal, ya que (si f(t) y g(t) son funciones derivables y a y b son constantes)

Considérese la diferenciación con respecto a t. Sus auto funciones h(t) obedecen a la ecuación de auto valor:
,
Donde λ es el auto valor asociado con la función. Una...
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