Algebra Lineal

Introducción Histórica
El gran desarrollo del algebra lineal se alcanza en el siglo XIX, gracias sobre todo a los trabajos de los matematicos británicos Sylvester y Cayley. A Sylvester se debe en 1850, la denominación de matriz para la disposición rectangular de número actual y Cayley, en 1855, el descubrimiento de la conexión entre el cambio lineal de variables en un sistema y la noción deproducto de matrices.

Matrices: Definición y Clases
Se llama matriz de orden a cualquier tabla de números que conste de filas y columnas.

El primer subíndice de cada término de la matriz indica filas y el segundo columnas. Así el término es el que se encuentra en la fila y la columna. En general, es el término situado en la fila y la columna .
Cuando queremos referirnos a lamatriz sin escribir la tabla, escribimos simplemente:

Por ejemplo, es una matriz en la que
Ejemplo.
El consumo en kilos de fruta, pescado y que son de una familia durante 1993 y 1994 se puede disponer así en forma de matriz:

Fruta
Pescado
Queso
1991
430
157
8
1992
390
162
6

Algunos tipos de matrices son:
Matriz Fila: es una matriz que tiene una sola fila.
Ejemplo:Es tamaño
Matriz Columna: es una matriz que tiene una sola columna.
Ejemplo:
Es una matriz de orden .
Matriz Cuadrada: es una matriz con igual número de filas que de columnas.
Ejemplo:
Es una matriz cuadrada de orden
Una matriz cuadrada ( se dice abreviadamente que es de orden . Si una matriz no es cuadrada, se le llama rectangular.Matriz Nula: es la matriz cuyos elementos son todos nulos. Se escribe 0.
Llamamos diagonal principal de una matriz al conjunto de elementos de la forma .
Ejemplo:
En la matriz , la diagonal principal es
Matriz Diagonal: es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos fuera de la diagonal principal.
En símbolos:
Ejemplo:
La matriz es diagonal
MatrizUnidad: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal siendo unos. Se denota por .
Ejemplo:
Es la matriz unidad de orden 3.

Matriz Triangular: es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Ejemplo: De las siguientes matrices, es una matriz triangular superior y es unamatriz triangular inferior.

Dos matrices del mismo orden diremos que son iguales, si lo son todos y cada uno de sus términos correspondientes.
O sea:


Operaciones con matrices
Suma:
Sean y dos matrices del mismo orden . La matriz suma se obtiene como:

Es decir, para sumar dos matrices del mismoorden sumamos los términos correspondientes.
Ejemplo:


Multiplicación por un Número
Sean una matriz y un número real. Definimos el producto de por la matriz como:



Es decir, para multiplicar un número por una matriz se multiplica el número por cada elemento de la matriz.



Ejemplo:


Hemos definido, por tanto, en el conjunto de las matrices de orden que escribiremosuna operación interna – la suma – y una ley de composición externa – la multiplicación por un número real –. Dichas operaciones presentan las siguientes propiedades:

Suma
Multiplicación por un número

Asociativa



Distributiva respecto a la suma


Conmutativa



Distributiva respecto de la suma en R


Elemento Neutro
Es la matriz nula, pues


Asociativa MixtaElemento Simétrico
La opuesta de A es:
pues


Neutralidad


Por tener estas propiedades, la terna es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales.
Multiplicación de Matrices
No todas las matrices pueden multiplicarse. Es necesario que la primera que multiplica sea de orden y la segunda de orden ; dicho de otra manera, sólo se pueden multiplicar dos matrices cuando el...