Algebra Lineal

EL DESARROLLO DEL ÁLGEBRA LINEAL

En el siglo XIX se rompieron los cánones clásicos del álgebra, con criterio cada vez más abstracto, de los conceptos fundamentales de la aritmética y del álgebra ordinarias , lo que dio por resultado la creación de nuevos entes que pusieron de manifiesto el carácter básico de la llamada “ley de composición”. La historia de la matemática no hace sino comprobartal carácter.

En el siglo XVIII el auge del cálculo infinitesimal y los sucesivos fracasos de resolver la ecuación de quinto grado por radicales detuvieron el progreso del álgebra, pero en el siglo XIX, y en especial en la segunda mitad, el álgebra se dirige por distintos caminos hacia lo que se considera hoy su problema esencial: el estudio de las estructuras algebraicas por sí mismas.Mientras adquieren gran desarrollo el estudio de las formas y de los invariantes, y la teoría de los grupos se extiende a la teoría de cuerpos y anillos, la creación de sucesivas generalidades y extensiones del concepto de número da nacimiento a la noción abstracta de ley de composición, cuya aplicación a los nuevos entes amplía en grado considerable el campo del álgebra.

El primero de estos enteses el vector, que si bien era utilizado ya en la composición de fuerzas y de velocidades por los tratadistas de mecánica desde fines del siglo XVII, no tuvo repercusión entonces entre los matemáticos.

Mientras que por un lado los vectores, y sus sucesores los tensores, con el auxilio de los recursos del análisis matemático, encuentran importantes aplicaciones en diversos campos de la física; porotro lado, los vectores contribuyeron a la creación de las nuevas álgebras, por ejemplo, el álgebra lineal.

En este sentido cabe señalar las obras de William Rowan Hamilton (1805-1865) y de Hermann Günther Grassmann (1809-1877).

El álgebra alcanzó por primera vez la libertad en las décadas 1830-40 y 1840-50, con las teorías matemáticas de Hamilton y de Grassmann. Estos dos liberadores delálgebra se encuentran entre los mayores profetas matemáticos del siglo XIX.

Hamilton fue un sabio múltiple que sobresalió en astronomía, física y matemática. Se ocupó de los vectores (el nombre es invención suya) y creó un sistema de números complejos que llamó Quaternions (cuaternios) que satisface todas las propiedades de las operaciones de la aritmética ordinaria, con excepción de lapropiedad conmutativa de la multiplicación. Los cuaternios aparecen en 1843, aunque el tratado completo sobre el tema: Lectures on Quaternions, de Hamilton no se publicó hasta diez años después.

Hamilton a los trece conocía muy bien los clásicos y las lenguas orientales tanto como las europeas. A los veintisiete años Hamilton era famoso por su predicción matemática de la refracción cónica, deducida desu amplia teoría de los sistemas de rayos, en óptica; a los treinta años había completado prácticamente su obra fundamental de dinámica que representaba un avance sobre Lagrange comparable al de éste sobre Euler. En 1843, a los treinta y ocho años, sobrepasó las dificultades que le habían impedido extender el álgebra de los vectores coplanares a una teoría de vectores y de rotaciones en un espaciode tres dimensiones.

Sobre Hamilton se acumularon los honores; a Grassmann, menos afortunado, no se le concedieron.

Grassmann mantuvo a su mujer y a nueve hijos practicando la enseñanza elemental, profesión para la cual estaba muy mal dotado. Nunca se quejó de los tormentos que sufría en manos de los jóvenes salvajes a los que, tan mal pagado había de civilizar. Hombre de ciencia original,teólogo y lingüista, que a los 53 años, decepcionado por el escaso éxito de sus trabajos matemáticos, se dedicó al estudio del sánscrito. Su obra matemática importante es de 1844 y se le conoce con el título abreviado Ausdehrungslehre (Teoría de la extensión) aunque en su título completo se refiere a una nueva disciplina matemática expuesta y aclarada mediante aplicaciones. El trabajo de 1844...