Algebra lineal
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación deoperaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).
|Contenido|
| [ocultar] |
|1 Conceptos básicos |
|2 Contexto general |
|3 Espacios vectoriales de uso común |
|3.1 Vectores en Rn|
|3.2 Matrices |
|3.3 Espacio vectorial de polinomios en una misma variable |
|4 Generalización y temas relacionados |
|5 Véase también |
|6 Enlaces externos|
[editar]Conceptos básicos
[pic]
[pic]
Representación gráfica de la suma de dos vectores en [pic].
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial [pic] (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el másusado en aplicaciones de uso.
Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales [pic] que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con nelementos forma un espacio vectorial [pic].
Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio [pic] y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de [pic]. En particular, [pic] corresponde a un planocartesiano XY y [pic] es elespacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas XYZ.
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
El producto por un escalar en [pic] sigue la regla:
[pic]
La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo dela magnitud del escalar, es decir, si [pic] es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si [pic] es mayor o menor de 0).
Las funciones [pic] de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par devectores [pic] y todo escalar [pic]:
[pic]
Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio [pic] que son las matrices de números reales de tamaño [pic].
El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptosy las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.
[editar]Contexto general
De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan...
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