Algebra lineal

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UNIVERSIDAD DEL NORTE TALLER DE ALGEBRA LINEAL PROGRAMA DE INGENIER´ IA → (1) Calcular las siguientes expresiones vectoriales para − = (2, 1, 3), u → − = (−1, 3 , 5) y − = (5, 6, 8). → v w 2 → →(a) − + − u v → + 7− → 3− (b) v w → → (c) 2− + − u v → − − 2− + 6− → → (d) 5 u v w → → → (e) 2− − 3− − 4− u v w → → → → → − (2) Sea − un vector en Rn . Demuestre que − • − = 0 si y s´lo si − = 0 . u uu o u (3) Determine el producto punto de los siguientes pares de vectores. (a) (5,1), (2,-3) (b) (-3,1,5), (2,0,4) (c) (7,1,2,-4), (3,0,-1,5) (d) (2,3,-4,1,6), (-3,1,-4,5,-1) (e) (5,2,3,0,0,0),(7,0,0,8,4,8) → → (4) Dados los vectores − = (4, 5, 2, 8, −2), − = (−3, 7, −9, 1, 4) y x y → − = (−1, 4, 8, 3, −3) en R5 , determine: z → → → (a) 5− • (7− + 3− ) x y z → →→ − • 5− )− (b) (3 x y z → → →→ (c) (2− − 4− ) • (4− + − ) x y z y → → − • (− + 4− ) → (d) 6 y x z → → → (e) (− − 6− ) • − y x z → → → (5) Sean los vectores − , − y − en Rn y sean c y d escalares distintos de cero. u v wIndique si cada una de las siguientes expresiones determina un escalar, un vector o carece de sentido. Justifique claramente su respuesta. → →→ (a) (− • − )− u v w → → → (b) − • − + c− u v w → → → (c) c(−• − ) + d− u v w → → → − •−)•− (d) ( u v w 1
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→ → (e) (− • − ) + d u v (6) En cada caso encuentre el conjunto soluci´n de la ecuaci´n lineal dada. A o o menos que se especifique algo diferente,el universo es el espacio Rn con n igual al n´mero de variables expl´ u ıcitas en la ecuaci´n. o (a) x + y + 3z = 2 (b) 2x − 3y = 6 (c) x = 5 (d) x = 5, en R4 (e) 2y = 3, en R4 (las variables est´nordenadas como x,y,z,w) a (f) 2x1 + 3x2 − 4x3 + x4 − x5 = 6 (g) 2x + 3y + 5z − 6w = 0 → → (7) Sean − = (u1 , u2 , . . . , un ) y − = (v1 , v2 , . . . , vn ) soluciones de la ecuaci´n u v o linealhomog´nea en las n variables a1 x1 + a2 x2 +, . . . , +an xn = 0 y sea α un e → → → escalar arbitrario. Demuestre que − + − y α− son soluciones tambi´n de u v u e dicha ecuaci´n lineal. o

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