Algebra lineal

Páginas: 5 (1191 palabras) Publicado: 28 de febrero de 2012
Solución para Resolver un Sistema de Ecuaciones


Solución de ecuaciones lineales generales AX = B de N ecuaciones con N incógnitas. El objetivo es construir un sistema triangular superior equivalente UX = Y que podamos resolver con facilidad.
Se dice que una matriz A = [ aij ] de orden N X N es triangular superior cuando sus elementos verifican aij = o siempre que i > j. También sedice que una matriz A = [ aij ] de orden N X N es triangular inferior si aij = o siempre que i < j.


Sistema triangular superior


a1 1 X1 + a1 2 X2 + a1 3 X3 + ......... + a1 N-1 XN-1 + a1 N XN = b1

a2 2 X2 + a2 3 X3 + ......... + a2 N-1 XN-1 + a2 N XN = b2

a3 3 X3 + ......... + a3 N-1 XN-1 + a3 N XN = b3aN-1 N-1 XN-1 + a1 N XN = bN-1

aN N XN = bN



Algoritmo de sustitución regresiva


Suponemos que AX = B es un sistema triangular superior como el dado anteriormente. Siempre que akk ( o para k = 1, 2, ........., N, entonces existe una solución única.


La solución es fácil de hallar. La ultimaecuación solo contiene la incógnita XN, así que empezamos por esta:
XN = bN
aNN


Ahora ya conocemos XN así que podemos usarla en la penúltima ecuación:

XN-1 = bN-1 - aN-1 N XN
aN-1 N-1

Ahora usaremos XN y XN-1 para hallar XN-2:


XN-2 = bN-2 - aN-2 N-1 XN-1 - aN-2 N XNaN-2 N-2


Una vez calculados los valores XN, XN-1, ........., XK+1, el paso general es:

N
bk - ( ak j Xj
Xk = j=k+1
ak k


La unicidad de la solución es fácil de ver. La ultima ecuación implica que bN/aNN es el único posible valor de XN y, por inducción finita, los valores de XN-1, XN-2, ...... X1, también son únicos.




Ejemplo: por el método de sustitución regresiva resolver el sistema lineal siguiente:


4 X1 – X 2 + 2 X3 + 3 X4 = 20
– 2 X 2 + 7 X3 – 4 X4 = -7
6 X3 + 5 X4 = 4
3 X4 = 6

Despejando X4 en laultima ecuación, obtenemos:


X4 = 6 / 3 = 2


Sustituyendo X4 = 2 en la tercera ecuación, tenemos lo siguiente:


X3 = ( 4 – 5 ( 2 ) ( / 6 = –1


Ahora sustituimos en la segunda ecuación a X3 = –1 y X4 = 2 para despejar X2:


X2 = ( – 7 – 7 (–1 ) + 4 ( 2 ) ( / – 2 = – 4
Y finalmente:
X1 = ( 20 + 1 ( – 4 ) – 2 (–1 ) – 3 (2 ) ( / 4= 3

La condición akk ( 0 es esencial porque en la fórmula del algoritmo general, hay que dividir entre akk. Si este requisito no se cumple, entonces o bien no hay solución o hay infinitas soluciones.
Si una matriz A = [ ai j] de orden N X N es triangular superior o inferior, entonces:
N
Det ( A ) = a11a22 ......... aNN =( aii
i =1
Por lo tanto el determinante del ejemplo anterior es:


Det ( A ) = 4 (–2 ) ( 6 ) ( 3 ) = - 144





Eliminación Gaussiana y pivoteo



Se dice que dos sistemas de orden N X N son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. Cualquiera de las siguientes operaciones aplicadas a sistemaequivalente lineales produce un sistema equivalente.
(1) Intercambio: El orden de las ecuaciones puede combinarse.
(2) Escalando: Multiplicar una ecuación por una constante no nula.
(3) Sustitución: Una ecuación puede ser reemplazada por la suma de ella misma más un múltiplo de otra ecuación.


Una forma eficaz de trabajar es almacenar todas las constantes del...
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