Algebra lineal

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| Matrices y determinantes. | 2.1 Definición de matriz, notación y orden.
2.2 Operaciones con matrices.
2.3 Clasificación de las matrices.
2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.
2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.
2.6 Definición de determinante de una matriz. 2.7 Propiedades de los determinantes.
2.8 Inversa de unamatriz cuadrada a través de la adjunta.
2.9 Aplicación de matrices y determinantes. |

Definición de matriz, notación y orden
DEFINICIÓN DE MATRIZ
En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadaspor números reales.
Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.
Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.
El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.
Dos matrices son iguales si son deigual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.
2.2 Operaciones con matrices.
Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2. (At)t = A.
Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A yB se denota por A+B.
Propiedades de la suma de matrices
1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A  (–A)  0.
La diferencia de matrices A y B se representa porA–B, y se define como: A–B = A  (–B)
Producto de una matriz por un número El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a esteproducto, producto de escalares por matrices.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)
2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)
3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
4. 1·A = A (elemento unidad)
Propiedades simplificativas
1. A + C = B + C  A = B.
2. k A = k B  A = B si k esdistinto de 0.
3. k A = h A  h = k si A es distinto de 0.
Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tienedimensión m n y B dimensión n p, la matriz P será de orden m p. Es decir:

Propiedades del producto de matrices
1. A·(B·C) = (A·B)·C
2. El producto de matrices en general no es conmutativo.
3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha...
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