Algebra lineal

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Antología

de

Álgebra Lineal

Todas Las Carreras

Temario

1. Números Complejos
2.1. Definición y origen de los números Complejos
2.2. Operaciones Fundamentales con Números Complejos
2.3. Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo
2.4. Forma polar y exponencial de un número complejo
2.5. Teorema de De Moivre, potencias yextracción de raíces de un número complejo.
2.6. Ecuaciones polinómicas

2. Matrices y Determinantes
3.7. Definición de matriz, notación y orden.
3.8. Operaciones con Matrices
3.9. Clasificación de Matrices
3.10. Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una Matriz. Rango de una Matriz
3.11. Cálculo de la inversa de una matriz
3.12.Definiciones de determinantes de una matriz
3.13. Propiedades de los determinantes
3.14. Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta
3.15. Aplicaciones de matrices y determinantes

3. Sistemas de Ecuaciones Lineales
4.16. Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales
4.17. Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales y tipos de solución4.18. Interpretación geométrica de las soluciones
4.19. Métodos de solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Gauss, Gauss-Jordan, Inversa de la matriz y regla de Cramer
4.20. Aplicaciones

4. Espacios Vectoriales
5.21. Definición de Espacio Vectorial
5.22. Definición de Espacio Subvectorial y sus propiedades
5.23. Combinación Lineal. IndependenciaLineal
5.24. Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base
5.25. Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades
5.26. Base Ortogonal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

5. Transformaciones Lineales
6.27. Introducción a las transformaciones lineales
6.28. Núcleo e imagen de una transformación lineal
6.29. La matriz de unatransformación lineal
6.30. Aplicaciones de las transformaciones lineales: Reflexión, Dilatación, Contracción y rotación.

Unidad 1

Números Complejos.

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Origen de los Números Complejos.

Desde Al'Khwarizmi (800 DC), quien fuera precursor del Álgebra, sólo se obtenían las soluciones de las raíces cuadradas de númerospositivos. La primera referencia conocida relacionada con raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos (entre ellos Herón de Alejandría en el siglo Ι antes de Cristo), ella surge como resultado de una imposible sección de una pirámide.

Los números complejos se hicieron más populares en el siglo XVI, cuando se buscaba hallar las fórmulas que dieran las raícesexactas de los polinomios de segundo y tercer grado por matemáticos italianos como Tartaglia o Cardano y aunque sólo estaban interesados en las raíces reales, se encontraron con la necesidad de manejar raíces de números negativos.

Girolamo Cardano (1501-1576) menciona por primera vez en su libro Ars Magna (1545) la necesidad de definir y utilizar números que respondan a la forma a con a<0. Enel libro aparece el siguiente problema: “dado un segmento de 10 unidades, dividirlo en dos partes de manera tal, que el área del rectángulo que se obtenga con esas dos partes sea de 40 unidades cuadradas”.

La solución debía ser fácil. Si una parte es “x” la otra parte es “y = x-10”, tal que x.y = 40. Reemplazando: x.(10-x) = 40, operando x2 –10 x + 40 = 0.

Al resolver la ecuación queda x1,2=5 ± −15 . A tales soluciones el filósofo y matemático alemán Descartes (1596-1650) las llamó imposibles o imaginarios, y en 1637 dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones, son números de la forma a+bi, con a y b reales.

Fue Karl F. Gauss (1777-1855) físico, matemático y astrónomo alemán quien usó los números complejos en forma realmente confiable y científica. En 1799 demostró...
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