Algebra Lineal

´ CALCULO EFICIENTE DEL ESTIMADOR JACKKNIFE AGRUPADO PARA M´ INIMOS CUADRADOS LINEALES Alexander Ar´valo S. 1 e H´ctor Jairo Mart´ e ınez R. 3 Ana Mar´ Sanabria R. ıa Universidad del Valle Facultad de Ciencias Naturales y Exactas Departamento de Matem´ticas a 2011
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Resumen
En esta presentaci´n hacemos una generalizaci´n del resultado obtenido por Mart´ o o ınez & Sanabria, quienes lograronobtener un algoritmo mucho m´s eficiente para el Estimador Jackknife a para M´ ınimos Cuadrados lineales (EJMCL), haciendo posible calcular el EJMCL a un costo considerablemente bajo. Usando el hecho que el Estimador Jackknife Agrupado para M´ ınimos Cuadrados Lineales (EJAMCL) generaliza el EJMCL, proponemos una modificaci´n del algoritmo est´ndar para calcular o a el EJAMCL, de tal manera que sereduzca un n´mero de operaciones del orden O(m2 n2 ) + u O(m2 n) + O(mn3 ) a un n´mero de operaciones del orden O(mn2 ) + O(mn) + O(mh2 ), donde m u es el tama˜o de la muestra, h un n´mero fijo dado por el m´todo Jackknife Agrupado (h << m) n u e y n es el n´mero de par´metros a estimar (m ≥ n). u a

Introducci´n o
La inferencia estad´ ıstica basada en t´cnicas de re-muestreo y, en particular la t´cnicaJackknife, e e surgi´ en los a˜os 50; no obstante, s´lo ha adquirido popularidad en las ultimas dos d´cadas, o n o ´ e pues hasta hace unos a˜os, el unico m´todo utilizado por muchas instituciones para el c´lculo de n ´ e a la varianza en muestreos complejos, era el de grupos aleatorios dependientes o el de linealizaci´n o por medio de los m´ ınimos cuadrados, debido a que el c´lculo delEstimador Jackknife Agrupado a requiere una adecuada infraestructura de computo [1]. Afortunadamente, los ultimos avances ´ tecnol´gicos y el creciente desarrollo de los equipos de c´mputo han facilitado el uso de este o o m´todo, por ello cada vez m´s analistas de encuestas en el mundo est´n adoptando este m´todo; e a a e en parte, porque es m´s simple de aplicar, pero tambi´n, por tener apoyo te´rico,adem´s de los a e o a estudios emp´ ıricos que revelan, en general, un buen comportamiento. Sin embargo, a medida que aumenta la facilidad de computo, aumenta tambi´n la dimensi´n de los problemas a resolver, por e o tanto, las facilidades computacionales no eximen de la necesidad de buscar algoritmos eficientes para los c´lculos. a

El algoritmo est´ndar que calcula el Estimador Jackknife para M´a ınimos Cuadrados Lineales (EJMCL) requiere un n´mero de operaciones del orden O(m2 n2 ) + O(mn3 ), donde m es el u tama˜o de la muestra y n es el n´mero de par´metros a estimar, lo cual hace que calcular el n u a EJMCL sea muy costoso, computacionalmente hablando. Sin embargo, Mart´ ınez & Sanabria, usando convenientemente propiedades b´sicas del ´lgebra lineal, lograron obtener un algoritmo a amucho m´s eficiente, disminuyendo el n´mero de operaciones al orden O(mn) + O(mn2 ) bajo a u la condici´n de que el problema de estimaci´n inicial y los subproblemas involucrados sean de o o rango completo [2]; posteriormente, lograron mantener el resultado anterior sin la necesidad de que los subproblemas involucrados fuesen de rango completo [3]; y por ultimo, lograron conser´ var la eficienciadel c´lculo sin requerir condici´n alguna sobre el problema inicial, es decir, sin a o importar que el problema de estimaci´n inicial sea de rango deficiente [4]. o En esta presentaremos hacemos una generalizaci´n de los resultados obtenidos por Mart´ o ınez & Sanabria, usando el hecho que el Estimador Jackknife Agrupado para M´ ınimos Cuadrados Lineales (EJAMCL) generaliza el EJMCL y proponiendouna modificaci´n al algoritmo est´ndar o a 2 n2 ) + O(m2 n) + para calcular el EJAMCL, reduciendo el n´mero de operaciones del orden O(m u O(mn3 ) a un n´mero de operaciones del orden O(mn2 ) + O(mn) + O(mh2 ), donde m es el u tama˜o de la muestra, h un n´mero fijo dado por el m´todo Jackknife Agrupado (h << m) n u e y n es el n´mero de par´metros a estimar (m ≥ n). En otras palabras, como el EJA...