Algebra lineal

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1
1.1
1.1.1


ALGEBRA MATRICIAL
De¯niciones basicas
Matriz

Una matriz de orden, o de dimensi¶n, M por N (escrita como M £ N ) es un
o
conjunto de M £ N elementos ordenados en M ¯las y N columnas. Por tanto,
una matriz A de (M £ N) puede expresarse como

A

M £N

2

a11
6 a21
= [aij ] = 6
4 :::
aM 1

a12
a22
:::
aM 2

a13
a23
:::
aM 3

3
::: a1N
::: a2N 7
7:::
::: 5
::: aMN

donde aij es el elemento que aparece en la i¶sima ¯la y la j¶sima columna
e
e
de A, y donde [aij ] es una expresi¶n abreviada para la matriz A cuyo elemento
o
caracter¶
istico es aij :
1.1.2

Vector columna

Una matriz que consta de M ¯las y s¶lo una columna se denomina vector
o
columna.

x

4£1

1.1.3

2

3
6
637
=6 7
445
8

Vector ¯la

Unamatriz que consta de s¶lo una ¯la y N columnas se denomina vector ¯la.
o
x

1£4

=

£

8546

1

¤

1.2

Tipos de matrices: Ejemplos

² Matriz cuadrada
A=

2£2

53
72

80
05

2

3
832
B =4 6 9 5 5
3£3
874

¸

¸

² Matriz diagonal
A=

2£2

² Matriz identidad o unitaria
A=

2£2

² Matriz escalar

10
01

2

3
500
B =40 6 05
3£3
003

23
100
B =40 1 05
3£3
001

¸

3
2
3
200
100
A =4 0 2 0 5=2£4 0 1 0 5
3£3
002
001

² Matriz sim¶trica
e

2

2

3
217
A =4 1 2 3 5= A0
3£3
3£3
732

² Matriz idempotente
A = A2 = A3 = A4 = :::

2

1.3
1.3.1

Operaciones matriciales
Adici¶n y substracci¶n de matrices
o
o

Si A y B son del mismo orden, se de¯na la adici¶n de matrices como
o
A+B =Cdonde C es del mismo orden que A y B .
A=

2£4

2345
6789

¸

B=

2£4

¸

1 0 ¡1 3
¡2 0 1 5

C=

2£4

3338
4 7 9 14

La substracci¶n de matrices sigue el mismo principio que la adici¶n de mao
o
trices, excepto que C = A ¡ B , siempre y cuando A y B sean del mismo orden.
1.3.2

Multiplicaci¶n de matrices
o

A=

2£3

347
561

2

3
21
B =43 55
3£2
62

¸Regla :

A

C=

2£2

B=

(m£p)(p£b)

60 37
34 37

¸

C

(m£b)

Propriedades de la multiplicaci¶n de matrices:
o
1) La multiplicaci¶n de matrices no necesariamente es commutativa:
o
AB 6= BA
AB signi¯ca que A es postmultiplicada por B o B es premultiplicada por A.Aun
si AB y BA existen, las matrices resultantes pueden no ser del mismo orden!
2) Un vector ¯lapostmultiplicado por un vector columna es un escalar.

uu =
^
¶^

£

u1
^

u2
^

u3
^

3

::: un
^

2

6
¤6
6
6
4

u1
^
u2
^
u3
^
:::
un
^

3
7
7
7
7
5

¸

= u2 + u2 + u2 + ::: + u2
^1 ^2 ^3
^n
=

X

u2 es un escalar
^i

3) Un vector columna postmultiplicado por un vector ¯la es una matriz.
2

6
6
uu = 6
6
4
0

u1
u2
u3
:::
un

37

7
u1
7
5

2

u2
1
6 u2 u1
6
=4
:::
un u1

u1 u2
u2
2
:::
un u2

u2

u3

u1 u3
u2 u3
:::
un u3

::: un

¤

3
::: u1 un
::: u2 un 7
7
:::
::: 5
::: u2
n

= es una matriz simetrica de orden n £ n:

4) Una matriz postmultiplicada por un vector culumna es un vector columna.
5) Un vector ¯la postmultiplicado por una matriz es un vector ¯la.
6) Lamultiplicaci¶n de matrices es asociativa, es decir
o
(A B ) C = A

M £N N £P P £K

(B C )

M £N N £P P £K

7) La multiplicaci¶n de matrices es distributiva con respecto a la suma
o
A(B + C ) = AB + AC

y

4

(B + C )A = BA + CA

1.3.3

Transposici¶n de matrices
o
2

3
83
A =46 95
3£2
87

A0 =

2£3

868
397

¸

Propriedades de la transposici¶n de matrices:o
1) La transposici¶n de una matriz transpuesta es la misma matriz original
o
(A0 )0 = A
2) C = A + B

C 0 = (A + B )0 = A0 + B 0

3) Si AB es de¯nido, (AB )0 = B 0 A0
4) La transpuesta de un matriz identidad es la matriz identidad misma
5) Si A es una matriz cuadrada tal que A = A0 ; entonces A es una matriz
sim¶trica.
e
6) La transpuesta de un escalar es el escalar mismo. Por...
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