Algebra lineal

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´
E.T.S. DE INGENIER´ INFORMATICA
IA
Apuntes de

´
ALGEBRA LINEAL
para la titulaci´n de
o

´
INGENIER´ TECNICA EN INFORMATICA
IA ´
´
DE GESTION

Fco. Javier Cobos Gavala
Amparo Osuna Lucena
Rafael Robles Arias
Beatriz Silva Gallardo

Contenido
Portada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

3

1 Matrices y determinantes

7

1.1

Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

7

1.2

Aritm´tica de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

10

1.3

Transformaciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Transformaciones elementales fila. . . . . . . . . . . . .

141.3.2

Transformaciones elementales columna. . . . . . . . . .

15

1.4

Algoritmo de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5

Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . .

22

1.5.1

Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . .

23

1.6

Factorizaci´n triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

25

1.7Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.7.1

C´lculo de la matriz inversa. . . . . . . . . . . . . . . .
a

28

1.8

Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.9

Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales.

37

2.1Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

38

2.2

M´todo de eliminaci´n gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . .
e
o

40

2.2.1

Sistemas de ecuaciones lineales homog´neos . . . . . .
e

45

Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.3

3

4

Contenido
2.3.1

Dependencia e independencia lineal . . . . . .. . . . .

51

2.3.2

Espacios vectoriales de tipo finito . . . . . . . . . . . .

54

Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.4.1

Operaciones con variedades lineales . . . . . . . . . . .

65

2.4.2

Ecuaciones de los subespacios. . . . . . . . . . . . . . .

68

2.5

Propiedades de los espacios vectoriales de tipo finito. . . . . .75

2.6

Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

2.7

Espacios fundamentales asociados a una matriz. . . . . . . . .

80

2.7.1

Espacio columna de A. [R(A)]. . . . . . . . . . . . . .

80

2.7.2

Espacio fila de A: [R(AT )]. . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.7.3

Espacio nulo de A: N (A). . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.8Teorema de Rouche-Fr¨benius . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

84

2.9

Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2.10 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

2.4

3 Aplicaciones lineales.

109

3.1

Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

3.2

Ecuaciones de unaaplicaci´n lineal. . . . . . . . . . . . . . . .
o

116

3.3

Ecuaciones del n´cleo y la imagen de una aplicaci´n lineal . .
u
o

117

3.4

Matrices equivalentes.

......................

119

3.5

Imagen inversa de una variedad lineal. . . . . . . . . . . . . .

121

3.6

Operaciones con aplicaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . .

122

3.7

Ejerciciosresueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

3.8

Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

4 Ortogonalidad.

145

4.1

Formas bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

4.2

Producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

4.3

Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . ....
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